Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57917 / 84526
↖ ↑ ↗
← S 46.160810°
W 20.926209°		 ← 211.55 m → S 46.160810°
W 20.923462°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 46.162712°
W 20.926209°		 ← 211.54 m →
44 745 m²		 S 46.162712°
W 20.923462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441875457763672 y=0.644886016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441875457763672 × 217)
    floor (0.441875457763672 × 131072)
    floor (57917.5)     		tx = 57917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644886016845703 × 217)
    floor (0.644886016845703 × 131072)
    floor (84526.5)     		ty = 84526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57917 / 84526 ti = "17/57917/84526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57917/84526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57917 ÷ 217
    57917 ÷ 131072     		x = 0.441871643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84526 ÷ 217
    84526 ÷ 131072     		y = 0.644882202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441871643066406 × 2 - 1) × π
    -0.116256713867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36523124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644882202148438 × 2 - 1) × π
    -0.289764404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.910321723784866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36523124} λ = -0.36523124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910321723784866))-π/2
    2×atan(0.402394743246421)-π/2
    2×0.382569104671712-π/2
    0.765138209343424-1.57079632675     		φ = -0.80565812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36523124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.926209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80565812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.160810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57917 KachelY 84526 -0.36523124 -0.80565812 -20.926209 -46.160810
    Oben rechts KachelX + 1 57918 KachelY 84526 -0.36518330 -0.80565812 -20.923462 -46.160810
    Unten links KachelX 57917 KachelY + 1 84527 -0.36523124 -0.80569132 -20.926209 -46.162712
    Unten rechts KachelX + 1 57918 KachelY + 1 84527 -0.36518330 -0.80569132 -20.923462 -46.162712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80565812--0.80569132) × R
    3.31999999999555e-05 × 6371000     		dl = 211.517199999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80565812--0.80569132) × R
    3.31999999999555e-05 × 6371000     		dr = 211.517199999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36523124--0.36518330) × cos(-0.80565812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692636691892485 × 6371000     		do = 211.54907417252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36523124--0.36518330) × cos(-0.80569132) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692612744794407 × 6371000     		du = 211.541760112369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80565812)-sin(-0.80569132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692636691892485-0.692612744794407)×R²
    abs(-0.36518330--0.36523124)×2.39470980775147e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39470980775147e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39470980775147e-05×40589641000000     		ar = 44745.4943108291m²