Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57916 / 84529
↖ ↑ ↗
← S 46.166517°
W 20.928955°		 ← 211.53 m → S 46.166517°
W 20.926209°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 46.168419°
W 20.928955°		 ← 211.52 m →
44 741 m²		 S 46.168419°
W 20.926209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441867828369141 y=0.644908905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441867828369141 × 217)
    floor (0.441867828369141 × 131072)
    floor (57916.5)     		tx = 57916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644908905029297 × 217)
    floor (0.644908905029297 × 131072)
    floor (84529.5)     		ty = 84529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57916 / 84529 ti = "17/57916/84529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57916/84529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57916 ÷ 217
    57916 ÷ 131072     		x = 0.441864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84529 ÷ 217
    84529 ÷ 131072     		y = 0.644905090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.11627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36527918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644905090332031 × 2 - 1) × π
    -0.289810180664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.910465534483726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36527918} λ = -0.36527918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910465534483726))-π/2
    2×atan(0.402336878738044)-π/2
    2×0.382519302971282-π/2
    0.765038605942564-1.57079632675     		φ = -0.80575772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36527918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.928955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80575772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.166517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57916 KachelY 84529 -0.36527918 -0.80575772 -20.928955 -46.166517
    Oben rechts KachelX + 1 57917 KachelY 84529 -0.36523124 -0.80575772 -20.926209 -46.166517
    Unten links KachelX 57916 KachelY + 1 84530 -0.36527918 -0.80579092 -20.928955 -46.168419
    Unten rechts KachelX + 1 57917 KachelY + 1 84530 -0.36523124 -0.80579092 -20.926209 -46.168419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80575772--0.80579092) × R
    3.31999999999555e-05 × 6371000     		dl = 211.517199999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80575772--0.80579092) × R
    3.31999999999555e-05 × 6371000     		dr = 211.517199999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36527918--0.36523124) × cos(-0.80575772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692564848308002 × 6371000     		do = 211.527131292321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36527918--0.36523124) × cos(-0.80579092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692540898919727 × 6371000     		du = 211.519816532684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80575772)-sin(-0.80579092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692564848308002-0.692540898919727)×R²
    abs(-0.36523124--0.36527918)×2.39493882747688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39493882747688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39493882747688e-05×40589641000000     		ar = 44740.8529400967m²