Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57915 / 38465
↖ ↑ ↗
← N 59.443679°
W 20.931702°		 ← 155.24 m → N 59.443679°
W 20.928955°		 →
↑
155.26 m
↓
↑
155.26 m
↓
N 59.442282°
W 20.931702°		 ← 155.25 m →
24 103 m²		 N 59.442282°
W 20.928955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441860198974609 y=0.293468475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441860198974609 × 217)
    floor (0.441860198974609 × 131072)
    floor (57915.5)     		tx = 57915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293468475341797 × 217)
    floor (0.293468475341797 × 131072)
    floor (38465.5)     		ty = 38465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57915 / 38465 ti = "17/57915/38465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57915/38465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57915 ÷ 217
    57915 ÷ 131072     		x = 0.441856384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38465 ÷ 217
    38465 ÷ 131072     		y = 0.293464660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441856384277344 × 2 - 1) × π
    -0.116287231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36532711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293464660644531 × 2 - 1) × π
    0.413070678710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.29769980961454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36532711} λ = -0.36532711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29769980961454))-π/2
    2×atan(3.66086628616118)-π/2
    2×1.30414212072382-π/2
    2.60828424144764-1.57079632675     		φ = 1.03748791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36532711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.931702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03748791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.443679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57915 KachelY 38465 -0.36532711 1.03748791 -20.931702 59.443679
    Oben rechts KachelX + 1 57916 KachelY 38465 -0.36527918 1.03748791 -20.928955 59.443679
    Unten links KachelX 57915 KachelY + 1 38466 -0.36532711 1.03746354 -20.931702 59.442282
    Unten rechts KachelX + 1 57916 KachelY + 1 38466 -0.36527918 1.03746354 -20.928955 59.442282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03748791-1.03746354) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dl = 155.261269999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03748791-1.03746354) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dr = 155.261269999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36532711--0.36527918) × cos(1.03748791) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508385094714442 × 6371000     		do = 155.241504543839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36532711--0.36527918) × cos(1.03746354) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508406080297594 × 6371000     		du = 155.247912744111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03748791)-sin(1.03746354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508385094714442-0.508406080297594)×R²
    abs(-0.36527918--0.36532711)×2.0985583151556e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0985583151556e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0985583151556e-05×40589641000000     		ar = 24103.49062601m²