Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57913 / 38583
↖ ↑ ↗
← N 59.278511°
W 20.937195°		 ← 156.03 m → N 59.278511°
W 20.934448°		 →
↑
156.03 m
↓
↑
156.03 m
↓
N 59.277108°
W 20.937195°		 ← 156.04 m →
24 345 m²		 N 59.277108°
W 20.934448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441844940185547 y=0.294368743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441844940185547 × 217)
    floor (0.441844940185547 × 131072)
    floor (57913.5)     		tx = 57913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294368743896484 × 217)
    floor (0.294368743896484 × 131072)
    floor (38583.5)     		ty = 38583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57913 / 38583 ti = "17/57913/38583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57913/38583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57913 ÷ 217
    57913 ÷ 131072     		x = 0.441841125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38583 ÷ 217
    38583 ÷ 131072     		y = 0.294364929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441841125488281 × 2 - 1) × π
    -0.116317749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36542299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294364929199219 × 2 - 1) × π
    0.411270141601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.29204325545937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36542299} λ = -0.36542299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29204325545937))-π/2
    2×atan(3.64021685513042)-π/2
    2×1.30270076121317-π/2
    2.60540152242634-1.57079632675     		φ = 1.03460520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36542299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.937195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03460520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.278511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57913 KachelY 38583 -0.36542299 1.03460520 -20.937195 59.278511
    Oben rechts KachelX + 1 57914 KachelY 38583 -0.36537505 1.03460520 -20.934448 59.278511
    Unten links KachelX 57913 KachelY + 1 38584 -0.36542299 1.03458071 -20.937195 59.277108
    Unten rechts KachelX + 1 57914 KachelY + 1 38584 -0.36537505 1.03458071 -20.934448 59.277108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03460520-1.03458071) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dl = 156.025789999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03460520-1.03458071) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dr = 156.025789999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36542299--0.36537505) × cos(1.03460520) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510865366524665 × 6371000     		do = 156.031432611245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36542299--0.36537505) × cos(1.03458071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510886419462836 × 6371000     		du = 156.037862720465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03460520)-sin(1.03458071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510865366524665-0.510886419462836)×R²
    abs(-0.36537505--0.36542299)×2.10529381708957e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10529381708957e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10529381708957e-05×40589641000000     		ar = 24345.4291705136m²