Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57911 / 84523
↖ ↑ ↗
← S 46.155102°
W 20.942688°		 ← 211.57 m → S 46.155102°
W 20.939941°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 46.157005°
W 20.942688°		 ← 211.56 m →
44 764 m²		 S 46.157005°
W 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441829681396484 y=0.644863128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441829681396484 × 217)
    floor (0.441829681396484 × 131072)
    floor (57911.5)     		tx = 57911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644863128662109 × 217)
    floor (0.644863128662109 × 131072)
    floor (84523.5)     		ty = 84523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57911 / 84523 ti = "17/57911/84523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57911/84523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57911 ÷ 217
    57911 ÷ 131072     		x = 0.441825866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84523 ÷ 217
    84523 ÷ 131072     		y = 0.644859313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441825866699219 × 2 - 1) × π
    -0.116348266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36551886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644859313964844 × 2 - 1) × π
    -0.289718627929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.910177913086006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36551886} λ = -0.36551886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910177913086006))-π/2
    2×atan(0.402452616076931)-π/2
    2×0.382618911538277-π/2
    0.765237823076555-1.57079632675     		φ = -0.80555850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36551886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.942688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80555850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.155102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57911 KachelY 84523 -0.36551886 -0.80555850 -20.942688 -46.155102
    Oben rechts KachelX + 1 57912 KachelY 84523 -0.36547092 -0.80555850 -20.939941 -46.155102
    Unten links KachelX 57911 KachelY + 1 84524 -0.36551886 -0.80559171 -20.942688 -46.157005
    Unten rechts KachelX + 1 57912 KachelY + 1 84524 -0.36547092 -0.80559171 -20.939941 -46.157005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80555850--0.80559171) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80555850--0.80559171) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36551886--0.36547092) × cos(-0.80555850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692708543030253 × 6371000     		do = 211.571019359443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36551886--0.36547092) × cos(-0.80559171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692684591010664 × 6371000     		du = 211.563703796136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80555850)-sin(-0.80559171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692708543030253-0.692684591010664)×R²
    abs(-0.36547092--0.36551886)×2.39520195891574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39520195891574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39520195891574e-05×40589641000000     		ar = 44763.6148930319m²