Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57911 / 38586
↖ ↑ ↗
← N 59.274301°
W 20.942688°		 ← 156.05 m → N 59.274301°
W 20.939941°		 →
↑
156.03 m
↓
↑
156.03 m
↓
N 59.272898°
W 20.942688°		 ← 156.06 m →
24 348 m²		 N 59.272898°
W 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441829681396484 y=0.294391632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441829681396484 × 217)
    floor (0.441829681396484 × 131072)
    floor (57911.5)     		tx = 57911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294391632080078 × 217)
    floor (0.294391632080078 × 131072)
    floor (38586.5)     		ty = 38586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57911 / 38586 ti = "17/57911/38586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57911/38586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57911 ÷ 217
    57911 ÷ 131072     		x = 0.441825866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38586 ÷ 217
    38586 ÷ 131072     		y = 0.294387817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441825866699219 × 2 - 1) × π
    -0.116348266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36551886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294387817382812 × 2 - 1) × π
    0.411224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29189944476051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36551886} λ = -0.36551886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29189944476051))-π/2
    2×atan(3.63969339064128)-π/2
    2×1.30266402498947-π/2
    2.60532804997893-1.57079632675     		φ = 1.03453172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36551886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.942688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03453172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.274301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57911 KachelY 38586 -0.36551886 1.03453172 -20.942688 59.274301
    Oben rechts KachelX + 1 57912 KachelY 38586 -0.36547092 1.03453172 -20.939941 59.274301
    Unten links KachelX 57911 KachelY + 1 38587 -0.36551886 1.03450723 -20.942688 59.272898
    Unten rechts KachelX + 1 57912 KachelY + 1 38587 -0.36547092 1.03450723 -20.939941 59.272898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03453172-1.03450723) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dl = 156.025789999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03453172-1.03450723) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dr = 156.025789999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36551886--0.36547092) × cos(1.03453172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510928533016169 × 6371000     		do = 156.050725283656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36551886--0.36547092) × cos(1.03450723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510949585034949 × 6371000     		du = 156.057155112071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03453172)-sin(1.03450723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510928533016169-0.510949585034949)×R²
    abs(-0.36547092--0.36551886)×2.105201878011e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.105201878011e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.105201878011e-05×40589641000000     		ar = 24348.4393030919m²