Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57910 / 81596
↖ ↑ ↗
← S 40.304665°
W 20.945435°		 ← 232.92 m → S 40.304665°
W 20.942688°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
S 40.306760°
W 20.945435°		 ← 232.92 m →
54 252 m²		 S 40.306760°
W 20.942688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441822052001953 y=0.622531890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441822052001953 × 217)
    floor (0.441822052001953 × 131072)
    floor (57910.5)     		tx = 57910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622531890869141 × 217)
    floor (0.622531890869141 × 131072)
    floor (81596.5)     		ty = 81596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57910 / 81596 ti = "17/57910/81596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57910/81596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57910 ÷ 217
    57910 ÷ 131072     		x = 0.441818237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81596 ÷ 217
    81596 ÷ 131072     		y = 0.622528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441818237304688 × 2 - 1) × π
    -0.116363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36556680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.24505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.769866607898102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36556680} λ = -0.36556680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769866607898102))-π/2
    2×atan(0.4630748347171)-π/2
    2×0.433673605985436-π/2
    0.867347211970871-1.57079632675     		φ = -0.70344911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36556680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.945435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70344911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.304665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57910 KachelY 81596 -0.36556680 -0.70344911 -20.945435 -40.304665
    Oben rechts KachelX + 1 57911 KachelY 81596 -0.36551886 -0.70344911 -20.942688 -40.304665
    Unten links KachelX 57910 KachelY + 1 81597 -0.36556680 -0.70348567 -20.945435 -40.306760
    Unten rechts KachelX + 1 57911 KachelY + 1 81597 -0.36551886 -0.70348567 -20.942688 -40.306760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70344911--0.70348567) × R
    3.65599999999633e-05 × 6371000     		dl = 232.923759999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70344911--0.70348567) × R
    3.65599999999633e-05 × 6371000     		dr = 232.923759999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36556680--0.36551886) × cos(-0.70344911) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76261566460842 × 6371000     		do = 232.922453698735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36556680--0.36551886) × cos(-0.70348567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762592015194209 × 6371000     		du = 232.915230558899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70344911)-sin(-0.70348567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76261566460842-0.762592015194209)×R²
    abs(-0.36551886--0.36556680)×2.36494142108468e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36494142108468e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36494142108468e-05×40589641000000     		ar = 54252.3324893886m²