Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57909 / 81590
↖ ↑ ↗
← S 40.292097°
W 20.948181°		 ← 232.92 m → S 40.292097°
W 20.945435°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
S 40.294191°
W 20.948181°		 ← 232.91 m →
54 251 m²		 S 40.294191°
W 20.945435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441814422607422 y=0.622486114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441814422607422 × 217)
    floor (0.441814422607422 × 131072)
    floor (57909.5)     		tx = 57909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622486114501953 × 217)
    floor (0.622486114501953 × 131072)
    floor (81590.5)     		ty = 81590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57909 / 81590 ti = "17/57909/81590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57909/81590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57909 ÷ 217
    57909 ÷ 131072     		x = 0.441810607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81590 ÷ 217
    81590 ÷ 131072     		y = 0.622482299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441810607910156 × 2 - 1) × π
    -0.116378784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36561473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622482299804688 × 2 - 1) × π
    -0.244964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.769578986500381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36561473} λ = -0.36561473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769578986500381))-π/2
    2×atan(0.463208044104327)-π/2
    2×0.433783288478609-π/2
    0.867566576957217-1.57079632675     		φ = -0.70322975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36561473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.948181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70322975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.292097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57909 KachelY 81590 -0.36561473 -0.70322975 -20.948181 -40.292097
    Oben rechts KachelX + 1 57910 KachelY 81590 -0.36556680 -0.70322975 -20.945435 -40.292097
    Unten links KachelX 57909 KachelY + 1 81591 -0.36561473 -0.70326631 -20.948181 -40.294191
    Unten rechts KachelX + 1 57910 KachelY + 1 81591 -0.36556680 -0.70326631 -20.945435 -40.294191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70322975--0.70326631) × R
    3.65599999999633e-05 × 6371000     		dl = 232.923759999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70322975--0.70326631) × R
    3.65599999999633e-05 × 6371000     		dr = 232.923759999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36561473--0.36556680) × cos(-0.70322975) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762757539686486 × 6371000     		do = 232.917190716344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36561473--0.36556680) × cos(-0.70326631) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762733896388776 × 6371000     		du = 232.909970950959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70322975)-sin(-0.70326631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762757539686486-0.762733896388776)×R²
    abs(-0.36556680--0.36561473)×2.36432977103185e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36432977103185e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36432977103185e-05×40589641000000     		ar = 54251.1070089565m²