Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57907 / 84527
↖ ↑ ↗
← S 46.162712°
W 20.953674°		 ← 211.54 m → S 46.162712°
W 20.950928°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 46.164614°
W 20.953674°		 ← 211.53 m →
44 744 m²		 S 46.164614°
W 20.950928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441799163818359 y=0.644893646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441799163818359 × 217)
    floor (0.441799163818359 × 131072)
    floor (57907.5)     		tx = 57907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644893646240234 × 217)
    floor (0.644893646240234 × 131072)
    floor (84527.5)     		ty = 84527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57907 / 84527 ti = "17/57907/84527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57907/84527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57907 ÷ 217
    57907 ÷ 131072     		x = 0.441795349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84527 ÷ 217
    84527 ÷ 131072     		y = 0.644889831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441795349121094 × 2 - 1) × π
    -0.116409301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36571061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644889831542969 × 2 - 1) × π
    -0.289779663085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.910369660684486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36571061} λ = -0.36571061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910369660684486))-π/2
    2×atan(0.402375454152339)-π/2
    2×0.382552503530889-π/2
    0.765105007061778-1.57079632675     		φ = -0.80569132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36571061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.953674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80569132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.162712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57907 KachelY 84527 -0.36571061 -0.80569132 -20.953674 -46.162712
    Oben rechts KachelX + 1 57908 KachelY 84527 -0.36566267 -0.80569132 -20.950928 -46.162712
    Unten links KachelX 57907 KachelY + 1 84528 -0.36571061 -0.80572452 -20.953674 -46.164614
    Unten rechts KachelX + 1 57908 KachelY + 1 84528 -0.36566267 -0.80572452 -20.950928 -46.164614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80569132--0.80572452) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dl = 211.517200000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80569132--0.80572452) × R
    3.32000000000665e-05 × 6371000     		dr = 211.517200000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36571061--0.36566267) × cos(-0.80569132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692612744794407 × 6371000     		do = 211.541760112124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36571061--0.36566267) × cos(-0.80572452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692588796932904 × 6371000     		du = 211.534445818803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80569132)-sin(-0.80572452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692612744794407-0.692588796932904)×R²
    abs(-0.36566267--0.36571061)×2.39478615030597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39478615030597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39478615030597e-05×40589641000000     		ar = 44743.947236761m²