Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57907 / 38581
↖ ↑ ↗
← N 59.281317°
W 20.953674°		 ← 156.02 m → N 59.281317°
W 20.950928°		 →
↑
156.03 m
↓
↑
156.03 m
↓
N 59.279914°
W 20.953674°		 ← 156.03 m →
24 343 m²		 N 59.279914°
W 20.950928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441799163818359 y=0.294353485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441799163818359 × 217)
    floor (0.441799163818359 × 131072)
    floor (57907.5)     		tx = 57907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294353485107422 × 217)
    floor (0.294353485107422 × 131072)
    floor (38581.5)     		ty = 38581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57907 / 38581 ti = "17/57907/38581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57907/38581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57907 ÷ 217
    57907 ÷ 131072     		x = 0.441795349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38581 ÷ 217
    38581 ÷ 131072     		y = 0.294349670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441795349121094 × 2 - 1) × π
    -0.116409301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36571061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294349670410156 × 2 - 1) × π
    0.411300659179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.29213912925861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36571061} λ = -0.36571061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29213912925861))-π/2
    2×atan(3.64056587328095)-π/2
    2×1.30272524950597-π/2
    2.60545049901194-1.57079632675     		φ = 1.03465417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36571061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.953674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03465417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.281317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57907 KachelY 38581 -0.36571061 1.03465417 -20.953674 59.281317
    Oben rechts KachelX + 1 57908 KachelY 38581 -0.36566267 1.03465417 -20.950928 59.281317
    Unten links KachelX 57907 KachelY + 1 38582 -0.36571061 1.03462968 -20.953674 59.279914
    Unten rechts KachelX + 1 57908 KachelY + 1 38582 -0.36566267 1.03462968 -20.950928 59.279914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03465417-1.03462968) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dl = 156.025789999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03465417-1.03462968) × R
    2.44899999999326e-05 × 6371000     		dr = 156.025789999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36571061--0.36566267) × cos(1.03465417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510823268326003 × 6371000     		do = 156.018574737586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36571061--0.36566267) × cos(1.03462968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510844321876829 × 6371000     		du = 156.025005033926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03465417)-sin(1.03462968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510823268326003-0.510844321876829)×R²
    abs(-0.36566267--0.36571061)×2.10535508264886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10535508264886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10535508264886e-05×40589641000000     		ar = 24343.4230253711m²