Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57900 / 86660
↖ ↑ ↗
← S 50.071244°
W 20.972901°		 ← 196.03 m → S 50.071244°
W 20.970154°		 →
↑
196.04 m
↓
↑
196.04 m
↓
S 50.073007°
W 20.972901°		 ← 196.03 m →
38 429 m²		 S 50.073007°
W 20.970154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441745758056641 y=0.661167144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441745758056641 × 217)
    floor (0.441745758056641 × 131072)
    floor (57900.5)     		tx = 57900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661167144775391 × 217)
    floor (0.661167144775391 × 131072)
    floor (86660.5)     		ty = 86660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57900 / 86660 ti = "17/57900/86660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57900/86660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57900 ÷ 217
    57900 ÷ 131072     		x = 0.441741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86660 ÷ 217
    86660 ÷ 131072     		y = 0.661163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.11651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36604617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661163330078125 × 2 - 1) × π
    -0.32232666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01261906757407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36604617} λ = -0.36604617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01261906757407))-π/2
    2×atan(0.363266313545186)-π/2
    2×0.348444132185187-π/2
    0.696888264370375-1.57079632675     		φ = -0.87390806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36604617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.972901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87390806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.071244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57900 KachelY 86660 -0.36604617 -0.87390806 -20.972901 -50.071244
    Oben rechts KachelX + 1 57901 KachelY 86660 -0.36599823 -0.87390806 -20.970154 -50.071244
    Unten links KachelX 57900 KachelY + 1 86661 -0.36604617 -0.87393883 -20.972901 -50.073007
    Unten rechts KachelX + 1 57901 KachelY + 1 86661 -0.36599823 -0.87393883 -20.970154 -50.073007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87390806--0.87393883) × R
    3.07700000000688e-05 × 6371000     		dl = 196.035670000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87390806--0.87393883) × R
    3.07700000000688e-05 × 6371000     		dr = 196.035670000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36604617--0.36599823) × cos(-0.87390806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641834587307802 × 6371000     		do = 196.032803786178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36604617--0.36599823) × cos(-0.87393883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641810991241324 × 6371000     		du = 196.025596940113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87390806)-sin(-0.87393883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641834587307802-0.641810991241324)×R²
    abs(-0.36599823--0.36604617)×2.35960664772827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35960664772827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35960664772827e-05×40589641000000     		ar = 38428.7156358222m²