Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 579 / 707
↖ ↑ ↗
← N 75.430979°
W129.111328°		 ← 2 458.36 m → N 75.430979°
W129.023438°		 →
↑
2 460.16 m
↓
↑
2 460.16 m
↓
N 75.408854°
W129.111328°		 ← 2 462.01 m →
6 052 447 m²		 N 75.408854°
W129.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1414794921875 y=0.1727294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1414794921875 × 212)
    floor (0.1414794921875 × 4096)
    floor (579.5)     		tx = 579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1727294921875 × 212)
    floor (0.1727294921875 × 4096)
    floor (707.5)     		ty = 707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 579 / 707 ti = "12/579/707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/579/707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 579 ÷ 212
    579 ÷ 4096     		x = 0.141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 707 ÷ 212
    707 ÷ 4096     		y = 0.172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.71728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25341778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172607421875 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05706823649585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25341778} λ = -2.25341778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05706823649585))-π/2
    2×atan(7.82300096843196)-π/2
    2×1.44365763583371-π/2
    2.88731527166742-1.57079632675     		φ = 1.31651894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25341778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31651894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.430979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 579 KachelY 707 -2.25341778 1.31651894 -129.111328 75.430979
    Oben rechts KachelX + 1 580 KachelY 707 -2.25188380 1.31651894 -129.023438 75.430979
    Unten links KachelX 579 KachelY + 1 708 -2.25341778 1.31613279 -129.111328 75.408854
    Unten rechts KachelX + 1 580 KachelY + 1 708 -2.25188380 1.31613279 -129.023438 75.408854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31651894-1.31613279) × R
    0.000386149999999974 × 6371000     		dl = 2460.16164999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31651894-1.31613279) × R
    0.000386149999999974 × 6371000     		dr = 2460.16164999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25341778--2.25188380) × cos(1.31651894) × R
    0.00153398000000005 × 0.251546096562204 × 6371000     		do = 2458.35662595388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25341778--2.25188380) × cos(1.31613279) × R
    0.00153398000000005 × 0.251919811268558 × 6371000     		du = 2462.00893476383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31651894)-sin(1.31613279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251546096562204-0.251919811268558)×R²
    abs(-2.25188380--2.25341778)×0.0003737147063545×R²
    0.00153398000000005×0.0003737147063545×6371000²
    0.00153398000000005×0.0003737147063545×40589641000000     		ar = 6052447.40344049m²