Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 579 / 478
↖ ↑ ↗
← N 11.867351°
E 23.554687°		 ← 38.256 km → N 11.867351°
E 23.906250°		 →
↑
38.280 km
↓
↑
38.280 km
↓
N 11.523088°
E 23.554687°		 ← 38.304 km →
1 465.38 km²		 N 11.523088°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56591796875 y=0.46728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56591796875 × 210)
    floor (0.56591796875 × 1024)
    floor (579.5)     		tx = 579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46728515625 × 210)
    floor (0.46728515625 × 1024)
    floor (478.5)     		ty = 478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 579 / 478 ti = "10/579/478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/579/478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 579 ÷ 210
    579 ÷ 1024     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 478 ÷ 210
    478 ÷ 1024     		y = 0.466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466796875 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.208621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208621387146484))-π/2
    2×atan(1.23197846733549)-π/2
    2×0.888960336841788-π/2
    1.77792067368358-1.57079632675     		φ = 0.20712435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20712435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.867351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 579 KachelY 478 0.41110685 0.20712435 23.554687 11.867351
    Oben rechts KachelX + 1 580 KachelY 478 0.41724277 0.20712435 23.906250 11.867351
    Unten links KachelX 579 KachelY + 1 479 0.41110685 0.20111582 23.554687 11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 580 KachelY + 1 479 0.41724277 0.20111582 23.906250 11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20712435-0.20111582) × R
    0.00600853000000001 × 6371000     		dl = 38280.3446300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20712435-0.20111582) × R
    0.00600853000000001 × 6371000     		dr = 38280.3446300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41724277) × cos(0.20712435) × R
    0.00613591999999996 × 0.978626327765447 × 6371000     		do = 38256.4078723453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41724277) × cos(0.20111582) × R
    0.00613591999999996 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 38304.0203302121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20712435)-sin(0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978626327765447-0.979844288556578)×R²
    abs(0.41724277-0.41110685)×0.00121796079113057×R²
    0.00613591999999996×0.00121796079113057×6371000²
    0.00613591999999996×0.00121796079113057×40589641000000     		ar = 1465384196.97099m²