Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 579 / 473
↖ ↑ ↗
← N 13.581921°
E 23.554687°		 ← 37.999 km → N 13.581921°
E 23.906250°		 →
↑
38.026 km
↓
↑
38.026 km
↓
N 13.239945°
E 23.554687°		 ← 38.053 km →
1 445.97 km²		 N 13.239945°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56591796875 y=0.46240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56591796875 × 210)
    floor (0.56591796875 × 1024)
    floor (579.5)     		tx = 579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46240234375 × 210)
    floor (0.46240234375 × 1024)
    floor (473.5)     		ty = 473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 579 / 473 ti = "10/579/473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/579/473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 579 ÷ 210
    579 ÷ 1024     		x = 0.5654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 473 ÷ 210
    473 ÷ 1024     		y = 0.4619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    0.076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.23930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41110685} λ = 0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23930100290332))-π/2
    2×atan(1.27036086134805)-π/2
    2×0.903922782624103-π/2
    1.80784556524821-1.57079632675     		φ = 0.23704924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23704924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.581921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 579 KachelY 473 0.41110685 0.23704924 23.554687 13.581921
    Oben rechts KachelX + 1 580 KachelY 473 0.41724277 0.23704924 23.906250 13.581921
    Unten links KachelX 579 KachelY + 1 474 0.41110685 0.23108064 23.554687 13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 580 KachelY + 1 474 0.41724277 0.23108064 23.906250 13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23704924-0.23108064) × R
    0.00596859999999999 × 6371000     		dl = 38025.9505999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23704924-0.23108064) × R
    0.00596859999999999 × 6371000     		dr = 38025.9505999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41110685-0.41724277) × cos(0.23704924) × R
    0.00613591999999996 × 0.97203514852682 × 6371000     		do = 37998.7458473634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41110685-0.41724277) × cos(0.23108064) × R
    0.00613591999999996 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 38052.8614689837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23704924)-sin(0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97203514852682-0.973419464906907)×R²
    abs(0.41724277-0.41110685)×0.00138431638008762×R²
    0.00613591999999996×0.00138431638008762×6371000²
    0.00613591999999996×0.00138431638008762×40589641000000     		ar = 1445971624.06372m²