Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 579 / 449
↖ ↑ ↗
← N 70.554179°
W 78.222656°		 ← 6 507.15 m → N 70.554179°
W 78.046875°		 →
↑
6 516.58 m
↓
↑
6 516.58 m
↓
N 70.495574°
W 78.222656°		 ← 6 526 m →
42 465 794 m²		 N 70.495574°
W 78.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282958984375 y=0.219482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282958984375 × 211)
    floor (0.282958984375 × 2048)
    floor (579.5)     		tx = 579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219482421875 × 211)
    floor (0.219482421875 × 2048)
    floor (449.5)     		ty = 449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 579 / 449 ti = "11/579/449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/579/449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 579 ÷ 211
    579 ÷ 2048     		x = 0.28271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 449 ÷ 211
    449 ÷ 2048     		y = 0.21923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36524290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36524290} λ = -1.36524290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76407790601807))-π/2
    2×atan(5.83618836202624)-π/2
    2×1.40109952165098-π/2
    2.80219904330195-1.57079632675     		φ = 1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36524290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 579 KachelY 449 -1.36524290 1.23140272 -78.222656 70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 580 KachelY 449 -1.36217494 1.23140272 -78.046875 70.554179
    Unten links KachelX 579 KachelY + 1 450 -1.36524290 1.23037987 -78.222656 70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 580 KachelY + 1 450 -1.36217494 1.23037987 -78.046875 70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23140272-1.23037987) × R
    0.00102285000000002 × 6371000     		dl = 6516.57735000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23140272-1.23037987) × R
    0.00102285000000002 × 6371000     		dr = 6516.57735000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36524290--1.36217494) × cos(1.23140272) × R
    0.00306795999999987 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 6507.15451204833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36524290--1.36217494) × cos(1.23037987) × R
    0.00306795999999987 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 6526.00325997089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23140272)-sin(1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.333879679796468)×R²
    abs(-1.36217494--1.36524290)×0.000964328957594962×R²
    0.00306795999999987×0.000964328957594962×6371000²
    0.00306795999999987×0.000964328957594962×40589641000000     		ar = 42465794.0704421m²