Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 579 / 1607
↖ ↑ ↗
← S 71.016960°
W 78.222656°		 ← 6 358.08 m → S 71.016960°
W 78.046875°		 →
↑
6 348.89 m
↓
↑
6 348.89 m
↓
S 71.074057°
W 78.222656°		 ← 6 339.65 m →
40 308 264 m²		 S 71.074057°
W 78.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282958984375 y=0.784912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282958984375 × 211)
    floor (0.282958984375 × 2048)
    floor (579.5)     		tx = 579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784912109375 × 211)
    floor (0.784912109375 × 2048)
    floor (1607.5)     		ty = 1607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 579 / 1607 ti = "11/579/1607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/579/1607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 579 ÷ 211
    579 ÷ 2048     		x = 0.28271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1607 ÷ 211
    1607 ÷ 2048     		y = 0.78466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36524290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78466796875 × 2 - 1) × π
    -0.5693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78862159862354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36524290} λ = -1.36524290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78862159862354))-π/2
    2×atan(0.167190466478982)-π/2
    2×0.165658277145481-π/2
    0.331316554290961-1.57079632675     		φ = -1.23947977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36524290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23947977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.016960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 579 KachelY 1607 -1.36524290 -1.23947977 -78.222656 -71.016960
    Oben rechts KachelX + 1 580 KachelY 1607 -1.36217494 -1.23947977 -78.046875 -71.016960
    Unten links KachelX 579 KachelY + 1 1608 -1.36524290 -1.24047630 -78.222656 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 580 KachelY + 1 1608 -1.36217494 -1.24047630 -78.046875 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23947977--1.24047630) × R
    0.000996530000000106 × 6371000     		dl = 6348.89263000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23947977--1.24047630) × R
    0.000996530000000106 × 6371000     		dr = 6348.89263000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36524290--1.36217494) × cos(-1.23947977) × R
    0.00306795999999987 × 0.325288265675305 × 6371000     		do = 6358.0757101522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36524290--1.36217494) × cos(-1.24047630) × R
    0.00306795999999987 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 6339.65372856283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23947977)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325288265675305-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.36217494--1.36524290)×0.000942494980350761×R²
    0.00306795999999987×0.000942494980350761×6371000²
    0.00306795999999987×0.000942494980350761×40589641000000     		ar = 40308263.7613551m²