Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57895 / 86733
↖ ↑ ↗
← S 50.199759°
W 20.986633°		 ← 195.51 m → S 50.199759°
W 20.983887°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
S 50.201518°
W 20.986633°		 ← 195.50 m →
38 226 m²		 S 50.201518°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441707611083984 y=0.661724090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441707611083984 × 217)
    floor (0.441707611083984 × 131072)
    floor (57895.5)     		tx = 57895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661724090576172 × 217)
    floor (0.661724090576172 × 131072)
    floor (86733.5)     		ty = 86733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57895 / 86733 ti = "17/57895/86733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57895/86733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57895 ÷ 217
    57895 ÷ 131072     		x = 0.441703796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86733 ÷ 217
    86733 ÷ 131072     		y = 0.661720275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441703796386719 × 2 - 1) × π
    -0.116592407226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36628585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661720275878906 × 2 - 1) × π
    -0.323440551757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.01611846124633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36628585} λ = -0.36628585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01611846124633))-π/2
    2×atan(0.361997323349329)-π/2
    2×0.347322622634583-π/2
    0.694645245269165-1.57079632675     		φ = -0.87615108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36628585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.986633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87615108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.199759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57895 KachelY 86733 -0.36628585 -0.87615108 -20.986633 -50.199759
    Oben rechts KachelX + 1 57896 KachelY 86733 -0.36623791 -0.87615108 -20.983887 -50.199759
    Unten links KachelX 57895 KachelY + 1 86734 -0.36628585 -0.87618177 -20.986633 -50.201518
    Unten rechts KachelX + 1 57896 KachelY + 1 86734 -0.36623791 -0.87618177 -20.983887 -50.201518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87615108--0.87618177) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87615108--0.87618177) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36628585--0.36623791) × cos(-0.87615108) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640112929728259 × 6371000     		do = 195.50696524592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36628585--0.36623791) × cos(-0.87618177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640089350888067 × 6371000     		du = 195.499763661206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87615108)-sin(-0.87618177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640112929728259-0.640089350888067)×R²
    abs(-0.36623791--0.36628585)×2.35788401914405e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35788401914405e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35788401914405e-05×40589641000000     		ar = 38225.9888861605m²