Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57895 / 38505
↖ ↑ ↗
← N 59.387780°
W 20.986633°		 ← 155.53 m → N 59.387780°
W 20.983887°		 →
↑
155.52 m
↓
↑
155.52 m
↓
N 59.386381°
W 20.986633°		 ← 155.54 m →
24 188 m²		 N 59.386381°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441707611083984 y=0.293773651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441707611083984 × 217)
    floor (0.441707611083984 × 131072)
    floor (57895.5)     		tx = 57895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293773651123047 × 217)
    floor (0.293773651123047 × 131072)
    floor (38505.5)     		ty = 38505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57895 / 38505 ti = "17/57895/38505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57895/38505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57895 ÷ 217
    57895 ÷ 131072     		x = 0.441703796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38505 ÷ 217
    38505 ÷ 131072     		y = 0.293769836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441703796386719 × 2 - 1) × π
    -0.116592407226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36628585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293769836425781 × 2 - 1) × π
    0.412460327148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.29578233362974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36628585} λ = -0.36628585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29578233362974))-π/2
    2×atan(3.65385338865387)-π/2
    2×1.30365431007527-π/2
    2.60730862015054-1.57079632675     		φ = 1.03651229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36628585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.986633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03651229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.387780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57895 KachelY 38505 -0.36628585 1.03651229 -20.986633 59.387780
    Oben rechts KachelX + 1 57896 KachelY 38505 -0.36623791 1.03651229 -20.983887 59.387780
    Unten links KachelX 57895 KachelY + 1 38506 -0.36628585 1.03648788 -20.986633 59.386381
    Unten rechts KachelX + 1 57896 KachelY + 1 38506 -0.36623791 1.03648788 -20.983887 59.386381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03651229-1.03648788) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dl = 155.516109999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03651229-1.03648788) × R
    2.44099999999747e-05 × 6371000     		dr = 155.516109999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36628585--0.36623791) × cos(1.03651229) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509224988123154 × 6371000     		do = 155.530418824084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36628585--0.36623791) × cos(1.03648788) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509245996033619 × 6371000     		du = 155.536835180683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03651229)-sin(1.03648788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509224988123154-0.509245996033619)×R²
    abs(-0.36623791--0.36628585)×2.10079104646654e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10079104646654e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10079104646654e-05×40589641000000     		ar = 24187.984646896m²