Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57892 / 86628
↖ ↑ ↗
← S 50.014799°
W 20.994873°		 ← 196.26 m → S 50.014799°
W 20.992126°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 50.016564°
W 20.994873°		 ← 196.26 m →
38 511 m²		 S 50.016564°
W 20.992126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441684722900391 y=0.660923004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441684722900391 × 217)
    floor (0.441684722900391 × 131072)
    floor (57892.5)     		tx = 57892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660923004150391 × 217)
    floor (0.660923004150391 × 131072)
    floor (86628.5)     		ty = 86628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57892 / 86628 ti = "17/57892/86628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57892/86628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57892 ÷ 217
    57892 ÷ 131072     		x = 0.441680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86628 ÷ 217
    86628 ÷ 131072     		y = 0.660919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.32183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01108508678622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36642966} λ = -0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01108508678622))-π/2
    2×atan(0.363823984710107)-π/2
    2×0.348936702721239-π/2
    0.697873405442478-1.57079632675     		φ = -0.87292292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87292292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.014799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57892 KachelY 86628 -0.36642966 -0.87292292 -20.994873 -50.014799
    Oben rechts KachelX + 1 57893 KachelY 86628 -0.36638172 -0.87292292 -20.992126 -50.014799
    Unten links KachelX 57892 KachelY + 1 86629 -0.36642966 -0.87295372 -20.994873 -50.016564
    Unten rechts KachelX + 1 57893 KachelY + 1 86629 -0.36638172 -0.87295372 -20.992126 -50.016564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87292292--0.87295372) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87292292--0.87295372) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36642966--0.36638172) × cos(-0.87292292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642589723561134 × 6371000     		do = 196.263441834926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36642966--0.36638172) × cos(-0.87295372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642566123974616 × 6371000     		du = 196.25623391375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87292292)-sin(-0.87295372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642589723561134-0.642566123974616)×R²
    abs(-0.36638172--0.36642966)×2.35995865184302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35995865184302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35995865184302e-05×40589641000000     		ar = 38511.4399576008m²