Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57889 / 84499
↖ ↑ ↗
← S 46.109421°
W 21.003113°		 ← 211.75 m → S 46.109421°
W 21.000366°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 46.111326°
W 21.003113°		 ← 211.74 m →
44 841 m²		 S 46.111326°
W 21.000366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441661834716797 y=0.644680023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441661834716797 × 217)
    floor (0.441661834716797 × 131072)
    floor (57889.5)     		tx = 57889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644680023193359 × 217)
    floor (0.644680023193359 × 131072)
    floor (84499.5)     		ty = 84499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57889 / 84499 ti = "17/57889/84499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57889/84499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57889 ÷ 217
    57889 ÷ 131072     		x = 0.441658020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84499 ÷ 217
    84499 ÷ 131072     		y = 0.644676208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441658020019531 × 2 - 1) × π
    -0.116683959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36657347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644676208496094 × 2 - 1) × π
    -0.289352416992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.909027427495125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36657347} λ = -0.36657347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909027427495125))-π/2
    2×atan(0.402915898461493)-π/2
    2×0.383017552456625-π/2
    0.76603510491325-1.57079632675     		φ = -0.80476122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36657347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.003113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80476122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.109421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57889 KachelY 84499 -0.36657347 -0.80476122 -21.003113 -46.109421
    Oben rechts KachelX + 1 57890 KachelY 84499 -0.36652553 -0.80476122 -21.000366 -46.109421
    Unten links KachelX 57889 KachelY + 1 84500 -0.36657347 -0.80479446 -21.003113 -46.111326
    Unten rechts KachelX + 1 57890 KachelY + 1 84500 -0.36652553 -0.80479446 -21.000366 -46.111326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80476122--0.80479446) × R
    3.32399999999344e-05 × 6371000     		dl = 211.772039999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80476122--0.80479446) × R
    3.32399999999344e-05 × 6371000     		dr = 211.772039999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36657347--0.36652553) × cos(-0.80476122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693283335201968 × 6371000     		do = 211.746575683835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36657347--0.36652553) × cos(-0.80479446) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693259379910335 × 6371000     		du = 211.739259121161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80476122)-sin(-0.80479446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693283335201968-0.693259379910335)×R²
    abs(-0.36652553--0.36657347)×2.39552916327934e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39552916327934e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39552916327934e-05×40589641000000     		ar = 44841.2295779924m²