Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57889 / 44386
↖ ↑ ↗
← N 50.117056°
W 21.003113°		 ← 195.85 m → N 50.117056°
W 21.000366°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 50.115295°
W 21.003113°		 ← 195.85 m →
38 356 m²		 N 50.115295°
W 21.000366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441661834716797 y=0.338642120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441661834716797 × 217)
    floor (0.441661834716797 × 131072)
    floor (57889.5)     		tx = 57889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338642120361328 × 217)
    floor (0.338642120361328 × 131072)
    floor (44386.5)     		ty = 44386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57889 / 44386 ti = "17/57889/44386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57889/44386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57889 ÷ 217
    57889 ÷ 131072     		x = 0.441658020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44386 ÷ 217
    44386 ÷ 131072     		y = 0.338638305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441658020019531 × 2 - 1) × π
    -0.116683959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36657347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338638305664062 × 2 - 1) × π
    0.322723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01386542696419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36657347} λ = -0.36657347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01386542696419))-π/2
    2×atan(2.75623447340164)-π/2
    2×1.22275198176718-π/2
    2.44550396353435-1.57079632675     		φ = 0.87470764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36657347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.003113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87470764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.117056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57889 KachelY 44386 -0.36657347 0.87470764 -21.003113 50.117056
    Oben rechts KachelX + 1 57890 KachelY 44386 -0.36652553 0.87470764 -21.000366 50.117056
    Unten links KachelX 57889 KachelY + 1 44387 -0.36657347 0.87467690 -21.003113 50.115295
    Unten rechts KachelX + 1 57890 KachelY + 1 44387 -0.36652553 0.87467690 -21.000366 50.115295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87470764-0.87467690) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87470764-0.87467690) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36657347--0.36652553) × cos(0.87470764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641221229784041 × 6371000     		do = 195.845468610599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36657347--0.36652553) × cos(0.87467690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641244818006595 × 6371000     		du = 195.852673060928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87470764)-sin(0.87467690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641221229784041-0.641244818006595)×R²
    abs(-0.36652553--0.36657347)×2.3588222553883e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3588222553883e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3588222553883e-05×40589641000000     		ar = 38355.9711904082m²