Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57884 / 81476
↖ ↑ ↗
← S 40.052848°
W 21.016846°		 ← 233.79 m → S 40.052848°
W 21.014099°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
S 40.054950°
W 21.016846°		 ← 233.78 m →
54 648 m²		 S 40.054950°
W 21.014099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441623687744141 y=0.621616363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441623687744141 × 217)
    floor (0.441623687744141 × 131072)
    floor (57884.5)     		tx = 57884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621616363525391 × 217)
    floor (0.621616363525391 × 131072)
    floor (81476.5)     		ty = 81476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57884 / 81476 ti = "17/57884/81476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57884/81476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57884 ÷ 217
    57884 ÷ 131072     		x = 0.441619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81476 ÷ 217
    81476 ÷ 131072     		y = 0.621612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.11676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36681316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.24322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.764114179943695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36681316} λ = -0.36681316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.764114179943695))-π/2
    2×atan(0.465746315725626)-π/2
    2×0.435871130680135-π/2
    0.871742261360271-1.57079632675     		φ = -0.69905407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36681316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.016846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69905407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.052848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57884 KachelY 81476 -0.36681316 -0.69905407 -21.016846 -40.052848
    Oben rechts KachelX + 1 57885 KachelY 81476 -0.36676522 -0.69905407 -21.014099 -40.052848
    Unten links KachelX 57884 KachelY + 1 81477 -0.36681316 -0.69909076 -21.016846 -40.054950
    Unten rechts KachelX + 1 57885 KachelY + 1 81477 -0.36676522 -0.69909076 -21.014099 -40.054950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69905407--0.69909076) × R
    3.66900000000614e-05 × 6371000     		dl = 233.751990000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69905407--0.69909076) × R
    3.66900000000614e-05 × 6371000     		dr = 233.751990000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36681316--0.36676522) × cos(-0.69905407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.765451229846415 × 6371000     		do = 233.788508309869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36681316--0.36676522) × cos(-0.69909076) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.765427619539582 × 6371000     		du = 233.781297114433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69905407)-sin(-0.69909076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765451229846415-0.765427619539582)×R²
    abs(-0.36676522--0.36681316)×2.36103068329552e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36103068329552e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36103068329552e-05×40589641000000     		ar = 54647.6862469741m²