Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57883 / 84537
↖ ↑ ↗
← S 46.181732°
W 21.019592°		 ← 211.42 m → S 46.181732°
W 21.016846°		 →
↑
211.45 m
↓
↑
211.45 m
↓
S 46.183634°
W 21.019592°		 ← 211.42 m →
44 706 m²		 S 46.183634°
W 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441616058349609 y=0.644969940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441616058349609 × 217)
    floor (0.441616058349609 × 131072)
    floor (57883.5)     		tx = 57883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644969940185547 × 217)
    floor (0.644969940185547 × 131072)
    floor (84537.5)     		ty = 84537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57883 / 84537 ti = "17/57883/84537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57883/84537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57883 ÷ 217
    57883 ÷ 131072     		x = 0.441612243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84537 ÷ 217
    84537 ÷ 131072     		y = 0.644966125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441612243652344 × 2 - 1) × π
    -0.116775512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36686109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644966125488281 × 2 - 1) × π
    -0.289932250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.910849029680687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36686109} λ = -0.36686109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910849029680687))-π/2
    2×atan(0.402182614059261)-π/2
    2×0.382386523693144-π/2
    0.764773047386289-1.57079632675     		φ = -0.80602328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36686109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.019592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80602328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.181732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57883 KachelY 84537 -0.36686109 -0.80602328 -21.019592 -46.181732
    Oben rechts KachelX + 1 57884 KachelY 84537 -0.36681316 -0.80602328 -21.016846 -46.181732
    Unten links KachelX 57883 KachelY + 1 84538 -0.36686109 -0.80605647 -21.019592 -46.183634
    Unten rechts KachelX + 1 57884 KachelY + 1 84538 -0.36681316 -0.80605647 -21.016846 -46.183634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80602328--0.80605647) × R
    3.31900000000163e-05 × 6371000     		dl = 211.453490000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80602328--0.80605647) × R
    3.31900000000163e-05 × 6371000     		dr = 211.453490000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36686109--0.36681316) × cos(-0.80602328) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.692373260691168 × 6371000     		do = 211.424504402259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36686109--0.36681316) × cos(-0.80605647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.692349312413406 × 6371000     		du = 211.417191507547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80602328)-sin(-0.80605647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692373260691168-0.692349312413406)×R²
    abs(-0.36681316--0.36686109)×2.39482777614208e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39482777614208e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39482777614208e-05×40589641000000     		ar = 44705.6761628624m²