Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57881 / 86301
↖ ↑ ↗
← S 49.434199°
W 21.025086°		 ← 198.62 m → S 49.434199°
W 21.022339°		 →
↑
198.65 m
↓
↑
198.65 m
↓
S 49.435985°
W 21.025086°		 ← 198.62 m →
39 456 m²		 S 49.435985°
W 21.022339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441600799560547 y=0.658428192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441600799560547 × 217)
    floor (0.441600799560547 × 131072)
    floor (57881.5)     		tx = 57881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658428192138672 × 217)
    floor (0.658428192138672 × 131072)
    floor (86301.5)     		ty = 86301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57881 / 86301 ti = "17/57881/86301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57881/86301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57881 ÷ 217
    57881 ÷ 131072     		x = 0.441596984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86301 ÷ 217
    86301 ÷ 131072     		y = 0.658424377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441596984863281 × 2 - 1) × π
    -0.116806030273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36695697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658424377441406 × 2 - 1) × π
    -0.316848754882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.995409720610466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36695697} λ = -0.36695697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995409720610466))-π/2
    2×atan(0.369571992257337)-π/2
    2×0.354003397574077-π/2
    0.708006795148154-1.57079632675     		φ = -0.86278953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36695697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.025086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86278953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.434199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57881 KachelY 86301 -0.36695697 -0.86278953 -21.025086 -49.434199
    Oben rechts KachelX + 1 57882 KachelY 86301 -0.36690903 -0.86278953 -21.022339 -49.434199
    Unten links KachelX 57881 KachelY + 1 86302 -0.36695697 -0.86282071 -21.025086 -49.435985
    Unten rechts KachelX + 1 57882 KachelY + 1 86302 -0.36690903 -0.86282071 -21.022339 -49.435985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86278953--0.86282071) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dl = 198.647780000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86278953--0.86282071) × R
    3.11800000000195e-05 × 6371000     		dr = 198.647780000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36695697--0.36690903) × cos(-0.86278953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650320907879151 × 6371000     		do = 198.624744526331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36695697--0.36690903) × cos(-0.86282071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650297221376525 × 6371000     		du = 198.617510058739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86278953)-sin(-0.86282071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650320907879151-0.650297221376525)×R²
    abs(-0.36690903--0.36695697)×2.36865026254085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36865026254085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36865026254085e-05×40589641000000     		ar = 39455.6460009373m²