Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57880 / 38547
↖ ↑ ↗
← N 59.328987°
W 21.027832°		 ← 155.77 m → N 59.328987°
W 21.025086°		 →
↑
155.83 m
↓
↑
155.83 m
↓
N 59.327585°
W 21.027832°		 ← 155.77 m →
24 274 m²		 N 59.327585°
W 21.025086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441593170166016 y=0.294094085693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441593170166016 × 217)
    floor (0.441593170166016 × 131072)
    floor (57880.5)     		tx = 57880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294094085693359 × 217)
    floor (0.294094085693359 × 131072)
    floor (38547.5)     		ty = 38547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57880 / 38547 ti = "17/57880/38547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57880/38547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57880 ÷ 217
    57880 ÷ 131072     		x = 0.44158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38547 ÷ 217
    38547 ÷ 131072     		y = 0.294090270996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36700490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294090270996094 × 2 - 1) × π
    0.411819458007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.2937689838457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36700490} λ = -0.36700490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2937689838457))-π/2
    2×atan(3.64650430434407)-π/2
    2×1.30314124177541-π/2
    2.60628248355083-1.57079632675     		φ = 1.03548616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36700490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.027832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03548616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.328987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57880 KachelY 38547 -0.36700490 1.03548616 -21.027832 59.328987
    Oben rechts KachelX + 1 57881 KachelY 38547 -0.36695697 1.03548616 -21.025086 59.328987
    Unten links KachelX 57880 KachelY + 1 38548 -0.36700490 1.03546170 -21.027832 59.327585
    Unten rechts KachelX + 1 57881 KachelY + 1 38548 -0.36695697 1.03546170 -21.025086 59.327585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03548616-1.03546170) × R
    2.44600000001149e-05 × 6371000     		dl = 155.834660000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03548616-1.03546170) × R
    2.44600000001149e-05 × 6371000     		dr = 155.834660000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36700490--0.36695697) × cos(1.03548616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510107841663679 × 6371000     		do = 155.767566049435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36700490--0.36695697) × cos(1.03546170) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510128879812739 × 6371000     		du = 155.773990301339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03548616)-sin(1.03546170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510107841663679-0.510128879812739)×R²
    abs(-0.36695697--0.36700490)×2.1038149060626e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1038149060626e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1038149060626e-05×40589641000000     		ar = 24274.4862562598m²