Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5788 / 2772
↖ ↑ ↗
← N 81.589274°
W116.411133°		 ← 178.68 m → N 81.589274°
W116.400147°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 81.587667°
W116.411133°		 ← 178.71 m →
31 934 m²		 N 81.587667°
W116.400147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.176651000976562 y=0.0846099853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.176651000976562 × 215)
    floor (0.176651000976562 × 32768)
    floor (5788.5)     		tx = 5788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0846099853515625 × 215)
    floor (0.0846099853515625 × 32768)
    floor (2772.5)     		ty = 2772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5788 / 2772 ti = "15/5788/2772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5788/2772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5788 ÷ 215
    5788 ÷ 32768     		x = 0.1766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2772 ÷ 215
    2772 ÷ 32768     		y = 0.0845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0845947265625 × 2 - 1) × π
    0.830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61006831051282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03175755} λ = -2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61006831051282))-π/2
    2×atan(13.599979841698)-π/2
    2×1.49739889249185-π/2
    2.99479778498369-1.57079632675     		φ = 1.42400146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42400146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.589274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5788 KachelY 2772 -2.03175755 1.42400146 -116.411133 81.589274
    Oben rechts KachelX + 1 5789 KachelY 2772 -2.03156581 1.42400146 -116.400147 81.589274
    Unten links KachelX 5788 KachelY + 1 2773 -2.03175755 1.42397341 -116.411133 81.587667
    Unten rechts KachelX + 1 5789 KachelY + 1 2773 -2.03156581 1.42397341 -116.400147 81.587667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42400146-1.42397341) × R
    2.80499999998352e-05 × 6371000     		dl = 178.70654999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42400146-1.42397341) × R
    2.80499999998352e-05 × 6371000     		dr = 178.70654999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03175755--2.03156581) × cos(1.42400146) × R
    0.000191739999999996 × 0.146268227306236 × 6371000     		do = 178.677688756454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03175755--2.03156581) × cos(1.42397341) × R
    0.000191739999999996 × 0.146295975570028 × 6371000     		du = 178.711585356779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42400146)-sin(1.42397341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146268227306236-0.146295975570028)×R²
    abs(-2.03156581--2.03175755)×2.77482637918436e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77482637918436e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77482637918436e-05×40589641000000     		ar = 31933.9020933535m²