Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57877 / 84463
↖ ↑ ↗
← S 46.040829°
W 21.036072°		 ← 211.97 m → S 46.040829°
W 21.033325°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
S 46.042735°
W 21.036072°		 ← 211.96 m →
44 928 m²		 S 46.042735°
W 21.033325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441570281982422 y=0.644405364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441570281982422 × 217)
    floor (0.441570281982422 × 131072)
    floor (57877.5)     		tx = 57877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644405364990234 × 217)
    floor (0.644405364990234 × 131072)
    floor (84463.5)     		ty = 84463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57877 / 84463 ti = "17/57877/84463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57877/84463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57877 ÷ 217
    57877 ÷ 131072     		x = 0.441566467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84463 ÷ 217
    84463 ÷ 131072     		y = 0.644401550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441566467285156 × 2 - 1) × π
    -0.116867065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36714871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644401550292969 × 2 - 1) × π
    -0.288803100585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.907301699108803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36714871} λ = -0.36714871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907301699108803))-π/2
    2×atan(0.403611822179713)-π/2
    2×0.383616133820634-π/2
    0.767232267641267-1.57079632675     		φ = -0.80356406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36714871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.036072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80356406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.040829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57877 KachelY 84463 -0.36714871 -0.80356406 -21.036072 -46.040829
    Oben rechts KachelX + 1 57878 KachelY 84463 -0.36710078 -0.80356406 -21.033325 -46.040829
    Unten links KachelX 57877 KachelY + 1 84464 -0.36714871 -0.80359733 -21.036072 -46.042735
    Unten rechts KachelX + 1 57878 KachelY + 1 84464 -0.36710078 -0.80359733 -21.033325 -46.042735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80356406--0.80359733) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80356406--0.80359733) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36714871--0.36710078) × cos(-0.80356406) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.694145589648534 × 6371000     		do = 211.965706370508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36714871--0.36710078) × cos(-0.80359733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.694121640366091 × 6371000     		du = 211.958393169004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80356406)-sin(-0.80359733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694145589648534-0.694121640366091)×R²
    abs(-0.36710078--0.36714871)×2.39492824426479e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39492824426479e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39492824426479e-05×40589641000000     		ar = 44928.1479931218m²