Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57876 / 44385
↖ ↑ ↗
← N 50.118817°
W 21.038818°		 ← 195.84 m → N 50.118817°
W 21.036072°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
N 50.117056°
W 21.038818°		 ← 195.85 m →
38 342 m²		 N 50.117056°
W 21.036072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441562652587891 y=0.338634490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441562652587891 × 217)
    floor (0.441562652587891 × 131072)
    floor (57876.5)     		tx = 57876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338634490966797 × 217)
    floor (0.338634490966797 × 131072)
    floor (44385.5)     		ty = 44385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57876 / 44385 ti = "17/57876/44385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57876/44385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57876 ÷ 217
    57876 ÷ 131072     		x = 0.441558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44385 ÷ 217
    44385 ÷ 131072     		y = 0.338630676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.11688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36719665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338630676269531 × 2 - 1) × π
    0.322738647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01391336386381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36719665} λ = -0.36719665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01391336386381))-π/2
    2×atan(2.75636660190381)-π/2
    2×1.22276735056343-π/2
    2.44553470112685-1.57079632675     		φ = 0.87473837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36719665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.038818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87473837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.118817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57876 KachelY 44385 -0.36719665 0.87473837 -21.038818 50.118817
    Oben rechts KachelX + 1 57877 KachelY 44385 -0.36714871 0.87473837 -21.036072 50.118817
    Unten links KachelX 57876 KachelY + 1 44386 -0.36719665 0.87470764 -21.038818 50.117056
    Unten rechts KachelX + 1 57877 KachelY + 1 44386 -0.36714871 0.87470764 -21.036072 50.117056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87473837-0.87470764) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87473837-0.87470764) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36719665--0.36714871) × cos(0.87473837) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641197648629324 × 6371000     		do = 195.83826631897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36719665--0.36714871) × cos(0.87470764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641221229784041 × 6371000     		du = 195.845468610599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87473837)-sin(0.87470764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641197648629324-0.641221229784041)×R²
    abs(-0.36714871--0.36719665)×2.35811547166787e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35811547166787e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35811547166787e-05×40589641000000     		ar = 38342.0833639831m²