Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57874 / 84464
↖ ↑ ↗
← S 46.042735°
W 21.044311°		 ← 211.96 m → S 46.042735°
W 21.041565°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
S 46.044642°
W 21.044311°		 ← 211.95 m →
44 940 m²		 S 46.044642°
W 21.041565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441547393798828 y=0.644412994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441547393798828 × 217)
    floor (0.441547393798828 × 131072)
    floor (57874.5)     		tx = 57874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644412994384766 × 217)
    floor (0.644412994384766 × 131072)
    floor (84464.5)     		ty = 84464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57874 / 84464 ti = "17/57874/84464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57874/84464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57874 ÷ 217
    57874 ÷ 131072     		x = 0.441543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84464 ÷ 217
    84464 ÷ 131072     		y = 0.6444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441543579101562 × 2 - 1) × π
    -0.116912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36729252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36729252} λ = -0.36729252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907349636008423))-π/2
    2×atan(0.40359247474404)-π/2
    2×0.383599496513946-π/2
    0.767198993027892-1.57079632675     		φ = -0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36729252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.044311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57874 KachelY 84464 -0.36729252 -0.80359733 -21.044311 -46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 57875 KachelY 84464 -0.36724459 -0.80359733 -21.041565 -46.042735
    Unten links KachelX 57874 KachelY + 1 84465 -0.36729252 -0.80363061 -21.044311 -46.044642
    Unten rechts KachelX + 1 57875 KachelY + 1 84465 -0.36724459 -0.80363061 -21.041565 -46.044642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80359733--0.80363061) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80359733--0.80363061) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36729252--0.36724459) × cos(-0.80359733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 211.958393169249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36729252--0.36724459) × cos(-0.80363061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.694097683116522 × 6371000     		du = 211.951077534888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80359733)-sin(-0.80363061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.694097683116522)×R²
    abs(-0.36724459--0.36729252)×2.3957249569273e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3957249569273e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3957249569273e-05×40589641000000     		ar = 44940.1012420278m²