Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57873 / 84509
↖ ↑ ↗
← S 46.128460°
W 21.047058°		 ← 211.67 m → S 46.128460°
W 21.044311°		 →
↑
211.64 m
↓
↑
211.64 m
↓
S 46.130363°
W 21.047058°		 ← 211.67 m →
44 799 m²		 S 46.130363°
W 21.044311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441539764404297 y=0.644756317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441539764404297 × 217)
    floor (0.441539764404297 × 131072)
    floor (57873.5)     		tx = 57873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644756317138672 × 217)
    floor (0.644756317138672 × 131072)
    floor (84509.5)     		ty = 84509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57873 / 84509 ti = "17/57873/84509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57873/84509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57873 ÷ 217
    57873 ÷ 131072     		x = 0.441535949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84509 ÷ 217
    84509 ÷ 131072     		y = 0.644752502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441535949707031 × 2 - 1) × π
    -0.116928100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36734046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644752502441406 × 2 - 1) × π
    -0.289505004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.909506796491325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36734046} λ = -0.36734046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909506796491325))-π/2
    2×atan(0.402722799358254)-π/2
    2×0.382851411891256-π/2
    0.765702823782512-1.57079632675     		φ = -0.80509350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36734046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.047058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80509350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.128460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57873 KachelY 84509 -0.36734046 -0.80509350 -21.047058 -46.128460
    Oben rechts KachelX + 1 57874 KachelY 84509 -0.36729252 -0.80509350 -21.044311 -46.128460
    Unten links KachelX 57873 KachelY + 1 84510 -0.36734046 -0.80512672 -21.047058 -46.130363
    Unten rechts KachelX + 1 57874 KachelY + 1 84510 -0.36729252 -0.80512672 -21.044311 -46.130363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80509350--0.80512672) × R
    3.3219999999945e-05 × 6371000     		dl = 211.644619999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80509350--0.80512672) × R
    3.3219999999945e-05 × 6371000     		dr = 211.644619999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36734046--0.36729252) × cos(-0.80509350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693043834327146 × 6371000     		do = 211.673425951667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36734046--0.36729252) × cos(-0.80512672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693019885798032 × 6371000     		du = 211.666111454441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80509350)-sin(-0.80512672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693043834327146-0.693019885798032)×R²
    abs(-0.36729252--0.36734046)×2.39485291139152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39485291139152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39485291139152e-05×40589641000000     		ar = 44798.7677667092m²