Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57872 / 84528
↖ ↑ ↗
← S 46.164614°
W 21.049805°		 ← 211.53 m → S 46.164614°
W 21.047058°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
S 46.166517°
W 21.049805°		 ← 211.53 m →
44 742 m²		 S 46.166517°
W 21.047058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441532135009766 y=0.644901275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441532135009766 × 217)
    floor (0.441532135009766 × 131072)
    floor (57872.5)     		tx = 57872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644901275634766 × 217)
    floor (0.644901275634766 × 131072)
    floor (84528.5)     		ty = 84528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57872 / 84528 ti = "17/57872/84528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57872/84528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57872 ÷ 217
    57872 ÷ 131072     		x = 0.4415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84528 ÷ 217
    84528 ÷ 131072     		y = 0.6448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.910417597584106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36738840} λ = -0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910417597584106))-π/2
    2×atan(0.402356165982895)-π/2
    2×0.382535902964079-π/2
    0.765071805928159-1.57079632675     		φ = -0.80572452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80572452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.164614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57872 KachelY 84528 -0.36738840 -0.80572452 -21.049805 -46.164614
    Oben rechts KachelX + 1 57873 KachelY 84528 -0.36734046 -0.80572452 -21.047058 -46.164614
    Unten links KachelX 57872 KachelY + 1 84529 -0.36738840 -0.80575772 -21.049805 -46.166517
    Unten rechts KachelX + 1 57873 KachelY + 1 84529 -0.36734046 -0.80575772 -21.047058 -46.166517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80572452--0.80575772) × R
    3.31999999999555e-05 × 6371000     		dl = 211.517199999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80572452--0.80575772) × R
    3.31999999999555e-05 × 6371000     		dr = 211.517199999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36738840--0.36734046) × cos(-0.80572452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692588796932904 × 6371000     		do = 211.534445819048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36738840--0.36734046) × cos(-0.80575772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692564848308002 × 6371000     		du = 211.527131292566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80572452)-sin(-0.80575772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692588796932904-0.692564848308002)×R²
    abs(-0.36734046--0.36738840)×2.39486249019594e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39486249019594e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39486249019594e-05×40589641000000     		ar = 44742.4001133247m²