Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57871 / 84495
↖ ↑ ↗
← S 46.101805°
W 21.052552°		 ← 211.78 m → S 46.101805°
W 21.049805°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 46.103709°
W 21.052552°		 ← 211.77 m →
44 847 m²		 S 46.103709°
W 21.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441524505615234 y=0.644649505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441524505615234 × 217)
    floor (0.441524505615234 × 131072)
    floor (57871.5)     		tx = 57871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644649505615234 × 217)
    floor (0.644649505615234 × 131072)
    floor (84495.5)     		ty = 84495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57871 / 84495 ti = "17/57871/84495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57871/84495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57871 ÷ 217
    57871 ÷ 131072     		x = 0.441520690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84495 ÷ 217
    84495 ÷ 131072     		y = 0.644645690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441520690917969 × 2 - 1) × π
    -0.116958618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36743634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644645690917969 × 2 - 1) × π
    -0.289291381835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.908835679896645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36743634} λ = -0.36743634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908835679896645))-π/2
    2×atan(0.402993164024919)-π/2
    2×0.383084024756253-π/2
    0.766168049512506-1.57079632675     		φ = -0.80462828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36743634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.052552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80462828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.101805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57871 KachelY 84495 -0.36743634 -0.80462828 -21.052552 -46.101805
    Oben rechts KachelX + 1 57872 KachelY 84495 -0.36738840 -0.80462828 -21.049805 -46.101805
    Unten links KachelX 57871 KachelY + 1 84496 -0.36743634 -0.80466152 -21.052552 -46.103709
    Unten rechts KachelX + 1 57872 KachelY + 1 84496 -0.36738840 -0.80466152 -21.049805 -46.103709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80462828--0.80466152) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dl = 211.77204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80462828--0.80466152) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dr = 211.77204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36743634--0.36738840) × cos(-0.80462828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693379134296705 × 6371000     		do = 211.775835192992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36743634--0.36738840) × cos(-0.80466152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693355182068798 × 6371000     		du = 211.768519566058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80462828)-sin(-0.80466152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693379134296705-0.693355182068798)×R²
    abs(-0.36738840--0.36743634)×2.39522279066318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39522279066318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39522279066318e-05×40589641000000     		ar = 44847.4260232655m²