Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57868 / 84470
↖ ↑ ↗
← S 46.054173°
W 21.060791°		 ← 211.96 m → S 46.054173°
W 21.058044°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 46.056079°
W 21.060791°		 ← 211.95 m →
44 913 m²		 S 46.056079°
W 21.058044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441501617431641 y=0.644458770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441501617431641 × 217)
    floor (0.441501617431641 × 131072)
    floor (57868.5)     		tx = 57868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644458770751953 × 217)
    floor (0.644458770751953 × 131072)
    floor (84470.5)     		ty = 84470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57868 / 84470 ti = "17/57868/84470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57868/84470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57868 ÷ 217
    57868 ÷ 131072     		x = 0.441497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84470 ÷ 217
    84470 ÷ 131072     		y = 0.644454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36758015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644454956054688 × 2 - 1) × π
    -0.288909912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907637257406143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36758015} λ = -0.36758015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907637257406143))-π/2
    2×atan(0.403476409604553)-π/2
    2×0.38349968473-π/2
    0.76699936946-1.57079632675     		φ = -0.80379696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36758015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80379696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.054173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57868 KachelY 84470 -0.36758015 -0.80379696 -21.060791 -46.054173
    Oben rechts KachelX + 1 57869 KachelY 84470 -0.36753221 -0.80379696 -21.058044 -46.054173
    Unten links KachelX 57868 KachelY + 1 84471 -0.36758015 -0.80383022 -21.060791 -46.056079
    Unten rechts KachelX + 1 57869 KachelY + 1 84471 -0.36753221 -0.80383022 -21.058044 -46.056079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80379696--0.80383022) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dl = 211.899460000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80379696--0.80383022) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dr = 211.899460000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36758015--0.36753221) × cos(-0.80379696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693977921337716 × 6371000     		do = 211.958720168095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36758015--0.36753221) × cos(-0.80383022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693953973877564 × 6371000     		du = 211.951405997357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80379696)-sin(-0.80383022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693977921337716-0.693953973877564)×R²
    abs(-0.36753221--0.36758015)×2.39474601513301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39474601513301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39474601513301e-05×40589641000000     		ar = 44913.1634156598m²