Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57868 / 84455
↖ ↑ ↗
← S 46.025575°
W 21.060791°		 ← 212.07 m → S 46.025575°
W 21.058044°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
S 46.027482°
W 21.060791°		 ← 212.06 m →
44 963 m²		 S 46.027482°
W 21.058044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441501617431641 y=0.644344329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441501617431641 × 217)
    floor (0.441501617431641 × 131072)
    floor (57868.5)     		tx = 57868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644344329833984 × 217)
    floor (0.644344329833984 × 131072)
    floor (84455.5)     		ty = 84455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57868 / 84455 ti = "17/57868/84455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57868/84455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57868 ÷ 217
    57868 ÷ 131072     		x = 0.441497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84455 ÷ 217
    84455 ÷ 131072     		y = 0.644340515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36758015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644340515136719 × 2 - 1) × π
    -0.288681030273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.906918203911842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36758015} λ = -0.36758015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906918203911842))-π/2
    2×atan(0.403766635058056)-π/2
    2×0.383749252942118-π/2
    0.767498505884236-1.57079632675     		φ = -0.80329782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36758015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.060791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80329782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.025575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57868 KachelY 84455 -0.36758015 -0.80329782 -21.060791 -46.025575
    Oben rechts KachelX + 1 57869 KachelY 84455 -0.36753221 -0.80329782 -21.058044 -46.025575
    Unten links KachelX 57868 KachelY + 1 84456 -0.36758015 -0.80333110 -21.060791 -46.027482
    Unten rechts KachelX + 1 57869 KachelY + 1 84456 -0.36753221 -0.80333110 -21.058044 -46.027482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80329782--0.80333110) × R
    3.32799999999134e-05 × 6371000     		dl = 212.026879999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80329782--0.80333110) × R
    3.32799999999134e-05 × 6371000     		dr = 212.026879999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36758015--0.36753221) × cos(-0.80329782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694337213817421 × 6371000     		do = 212.068457339585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36758015--0.36753221) × cos(-0.80333110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694313263487598 × 6371000     		du = 212.061142292376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80329782)-sin(-0.80333110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694337213817421-0.694313263487598)×R²
    abs(-0.36753221--0.36758015)×2.39503298228305e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39503298228305e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39503298228305e-05×40589641000000     		ar = 44963.4378667436m²