Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57867 / 84489
↖ ↑ ↗
← S 46.090377°
W 21.063537°		 ← 211.78 m → S 46.090377°
W 21.060791°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 46.092281°
W 21.063537°		 ← 211.77 m →
44 847 m²		 S 46.092281°
W 21.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441493988037109 y=0.644603729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441493988037109 × 217)
    floor (0.441493988037109 × 131072)
    floor (57867.5)     		tx = 57867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644603729248047 × 217)
    floor (0.644603729248047 × 131072)
    floor (84489.5)     		ty = 84489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57867 / 84489 ti = "17/57867/84489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57867/84489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57867 ÷ 217
    57867 ÷ 131072     		x = 0.441490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84489 ÷ 217
    84489 ÷ 131072     		y = 0.644599914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441490173339844 × 2 - 1) × π
    -0.117019653320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36762808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644599914550781 × 2 - 1) × π
    -0.289199829101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.908548058498924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36762808} λ = -0.36762808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908548058498924))-π/2
    2×atan(0.403109090152646)-π/2
    2×0.383183750427577-π/2
    0.766367500855154-1.57079632675     		φ = -0.80442883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36762808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.063537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80442883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.090377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57867 KachelY 84489 -0.36762808 -0.80442883 -21.063537 -46.090377
    Oben rechts KachelX + 1 57868 KachelY 84489 -0.36758015 -0.80442883 -21.060791 -46.090377
    Unten links KachelX 57867 KachelY + 1 84490 -0.36762808 -0.80446207 -21.063537 -46.092281
    Unten rechts KachelX + 1 57868 KachelY + 1 84490 -0.36758015 -0.80446207 -21.060791 -46.092281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80442883--0.80446207) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dl = 211.77204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80442883--0.80446207) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dr = 211.77204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36762808--0.36758015) × cos(-0.80442883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.693522838779193 × 6371000     		do = 211.775541901107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36762808--0.36758015) × cos(-0.80446207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.693498891148591 × 6371000     		du = 211.768229204012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80442883)-sin(-0.80446207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693522838779193-0.693498891148591)×R²
    abs(-0.36758015--0.36762808)×2.39476306015396e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39476306015396e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39476306015396e-05×40589641000000     		ar = 44847.364222226m²