Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57867 / 44375
↖ ↑ ↗
← N 50.136425°
W 21.063537°		 ← 195.73 m → N 50.136425°
W 21.060791°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
N 50.134664°
W 21.063537°		 ← 195.73 m →
38 320 m²		 N 50.134664°
W 21.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441493988037109 y=0.338558197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441493988037109 × 217)
    floor (0.441493988037109 × 131072)
    floor (57867.5)     		tx = 57867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338558197021484 × 217)
    floor (0.338558197021484 × 131072)
    floor (44375.5)     		ty = 44375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57867 / 44375 ti = "17/57867/44375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57867/44375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57867 ÷ 217
    57867 ÷ 131072     		x = 0.441490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44375 ÷ 217
    44375 ÷ 131072     		y = 0.338554382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441490173339844 × 2 - 1) × π
    -0.117019653320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36762808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338554382324219 × 2 - 1) × π
    0.322891235351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.01439273286001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36762808} λ = -0.36762808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01439273286001))-π/2
    2×atan(2.75768823534467)-π/2
    2×1.22292100743326-π/2
    2.44584201486652-1.57079632675     		φ = 0.87504569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36762808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.063537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87504569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.136425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57867 KachelY 44375 -0.36762808 0.87504569 -21.063537 50.136425
    Oben rechts KachelX + 1 57868 KachelY 44375 -0.36758015 0.87504569 -21.060791 50.136425
    Unten links KachelX 57867 KachelY + 1 44376 -0.36762808 0.87501496 -21.063537 50.134664
    Unten rechts KachelX + 1 57868 KachelY + 1 44376 -0.36758015 0.87501496 -21.060791 50.134664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87504569-0.87501496) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87504569-0.87501496) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36762808--0.36758015) × cos(0.87504569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640961788431655 × 6371000     		do = 195.725392868041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36762808--0.36758015) × cos(0.87501496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640985375640804 × 6371000     		du = 195.732595506108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87504569)-sin(0.87501496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640961788431655-0.640985375640804)×R²
    abs(-0.36758015--0.36762808)×2.35872091487455e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35872091487455e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35872091487455e-05×40589641000000     		ar = 38319.9849399972m²