Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57866 / 84451
↖ ↑ ↗
← S 46.017946°
W 21.066284°		 ← 212.10 m → S 46.017946°
W 21.063537°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 46.019853°
W 21.066284°		 ← 212.09 m →
44 983 m²		 S 46.019853°
W 21.063537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441486358642578 y=0.644313812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441486358642578 × 217)
    floor (0.441486358642578 × 131072)
    floor (57866.5)     		tx = 57866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644313812255859 × 217)
    floor (0.644313812255859 × 131072)
    floor (84451.5)     		ty = 84451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57866 / 84451 ti = "17/57866/84451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57866/84451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57866 ÷ 217
    57866 ÷ 131072     		x = 0.441482543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84451 ÷ 217
    84451 ÷ 131072     		y = 0.644309997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441482543945312 × 2 - 1) × π
    -0.117034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36767602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644309997558594 × 2 - 1) × π
    -0.288619995117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.906726456313362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36767602} λ = -0.36767602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906726456313362))-π/2
    2×atan(0.403844063763822)-π/2
    2×0.38381582628166-π/2
    0.767631652563321-1.57079632675     		φ = -0.80316467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36767602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.066284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80316467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.017946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57866 KachelY 84451 -0.36767602 -0.80316467 -21.066284 -46.017946
    Oben rechts KachelX + 1 57867 KachelY 84451 -0.36762808 -0.80316467 -21.063537 -46.017946
    Unten links KachelX 57866 KachelY + 1 84452 -0.36767602 -0.80319796 -21.066284 -46.019853
    Unten rechts KachelX + 1 57867 KachelY + 1 84452 -0.36762808 -0.80319796 -21.063537 -46.019853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80316467--0.80319796) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80316467--0.80319796) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36767602--0.36762808) × cos(-0.80316467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694433029032978 × 6371000     		do = 212.0977217727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36767602--0.36762808) × cos(-0.80319796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694409074584279 × 6371000     		du = 212.09040546748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80316467)-sin(-0.80319796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694433029032978-0.694409074584279)×R²
    abs(-0.36762808--0.36767602)×2.39544486989596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39544486989596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39544486989596e-05×40589641000000     		ar = 44983.1550927675m²