Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57864 / 86936
↖ ↑ ↗
← S 50.555325°
W 21.071777°		 ← 194.01 m → S 50.555325°
W 21.069031°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
S 50.557070°
W 21.071777°		 ← 194 m →
37 636 m²		 S 50.557070°
W 21.069031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441471099853516 y=0.663272857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441471099853516 × 217)
    floor (0.441471099853516 × 131072)
    floor (57864.5)     		tx = 57864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663272857666016 × 217)
    floor (0.663272857666016 × 131072)
    floor (86936.5)     		ty = 86936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57864 / 86936 ti = "17/57864/86936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57864/86936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57864 ÷ 217
    57864 ÷ 131072     		x = 0.44146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86936 ÷ 217
    86936 ÷ 131072     		y = 0.66326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36777189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.3265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36777189} λ = -0.36777189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0258496518692))-π/2
    2×atan(0.358491742790858)-π/2
    2×0.344219725726406-π/2
    0.688439451452812-1.57079632675     		φ = -0.88235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36777189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.555325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57864 KachelY 86936 -0.36777189 -0.88235688 -21.071777 -50.555325
    Oben rechts KachelX + 1 57865 KachelY 86936 -0.36772396 -0.88235688 -21.069031 -50.555325
    Unten links KachelX 57864 KachelY + 1 86937 -0.36777189 -0.88238733 -21.071777 -50.557070
    Unten rechts KachelX + 1 57865 KachelY + 1 86937 -0.36772396 -0.88238733 -21.069031 -50.557070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88235688--0.88238733) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88235688--0.88238733) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36777189--0.36772396) × cos(-0.88235688) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		do = 194.006524887492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36777189--0.36772396) × cos(-0.88238733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635309322227543 × 6371000     		du = 193.999344313221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88235688)-sin(-0.88238733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63533283718214-0.635309322227543)×R²
    abs(-0.36772396--0.36777189)×2.35149545975144e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35149545975144e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35149545975144e-05×40589641000000     		ar = 37635.9776064996m²