Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57864 / 84474
↖ ↑ ↗
← S 46.061797°
W 21.071777°		 ← 211.89 m → S 46.061797°
W 21.069031°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 46.063703°
W 21.071777°		 ← 211.88 m →
44 898 m²		 S 46.063703°
W 21.069031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441471099853516 y=0.644489288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441471099853516 × 217)
    floor (0.441471099853516 × 131072)
    floor (57864.5)     		tx = 57864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644489288330078 × 217)
    floor (0.644489288330078 × 131072)
    floor (84474.5)     		ty = 84474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57864 / 84474 ti = "17/57864/84474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57864/84474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57864 ÷ 217
    57864 ÷ 131072     		x = 0.44146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84474 ÷ 217
    84474 ÷ 131072     		y = 0.644485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36777189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.288970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.907829005004623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36777189} λ = -0.36777189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907829005004623))-π/2
    2×atan(0.403399051388831)-π/2
    2×0.383433155022675-π/2
    0.766866310045351-1.57079632675     		φ = -0.80393002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36777189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80393002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.061797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57864 KachelY 84474 -0.36777189 -0.80393002 -21.071777 -46.061797
    Oben rechts KachelX + 1 57865 KachelY 84474 -0.36772396 -0.80393002 -21.069031 -46.061797
    Unten links KachelX 57864 KachelY + 1 84475 -0.36777189 -0.80396328 -21.071777 -46.063703
    Unten rechts KachelX + 1 57865 KachelY + 1 84475 -0.36772396 -0.80396328 -21.069031 -46.063703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80393002--0.80396328) × R
    3.32599999999239e-05 × 6371000     		dl = 211.899459999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80393002--0.80396328) × R
    3.32599999999239e-05 × 6371000     		dr = 211.899459999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36777189--0.36772396) × cos(-0.80393002) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.693882112489418 × 6371000     		do = 211.885250450341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36777189--0.36772396) × cos(-0.80396328) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69385816195828 × 6371000     		du = 211.877936867533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80393002)-sin(-0.80396328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693882112489418-0.69385816195828)×R²
    abs(-0.36772396--0.36777189)×2.39505311380173e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39505311380173e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39505311380173e-05×40589641000000     		ar = 44897.5952843913m²