Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57861 / 84510
↖ ↑ ↗
← S 46.130363°
W 21.080017°		 ← 211.62 m → S 46.130363°
W 21.077271°		 →
↑
211.71 m
↓
↑
211.71 m
↓
S 46.132267°
W 21.080017°		 ← 211.61 m →
44 801 m²		 S 46.132267°
W 21.077271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441448211669922 y=0.644763946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441448211669922 × 217)
    floor (0.441448211669922 × 131072)
    floor (57861.5)     		tx = 57861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644763946533203 × 217)
    floor (0.644763946533203 × 131072)
    floor (84510.5)     		ty = 84510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57861 / 84510 ti = "17/57861/84510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57861/84510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57861 ÷ 217
    57861 ÷ 131072     		x = 0.441444396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84510 ÷ 217
    84510 ÷ 131072     		y = 0.644760131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441444396972656 × 2 - 1) × π
    -0.117111206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36791570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644760131835938 × 2 - 1) × π
    -0.289520263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.909554733390946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36791570} λ = -0.36791570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909554733390946))-π/2
    2×atan(0.402703494538557)-π/2
    2×0.382834800991969-π/2
    0.765669601983938-1.57079632675     		φ = -0.80512672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36791570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.080017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80512672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.130363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57861 KachelY 84510 -0.36791570 -0.80512672 -21.080017 -46.130363
    Oben rechts KachelX + 1 57862 KachelY 84510 -0.36786777 -0.80512672 -21.077271 -46.130363
    Unten links KachelX 57861 KachelY + 1 84511 -0.36791570 -0.80515995 -21.080017 -46.132267
    Unten rechts KachelX + 1 57862 KachelY + 1 84511 -0.36786777 -0.80515995 -21.077271 -46.132267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80512672--0.80515995) × R
    3.32299999999952e-05 × 6371000     		dl = 211.708329999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80512672--0.80515995) × R
    3.32299999999952e-05 × 6371000     		dr = 211.708329999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36791570--0.36786777) × cos(-0.80512672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.693019885798032 × 6371000     		do = 211.621959157785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36791570--0.36786777) × cos(-0.80515995) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.692995929294708 × 6371000     		du = 211.614643751298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80512672)-sin(-0.80515995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693019885798032-0.692995929294708)×R²
    abs(-0.36786777--0.36791570)×2.39565033237632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39565033237632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39565033237632e-05×40589641000000     		ar = 44801.3572023712m²