Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57861 / 28160
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
W 21.080017°		 ← 99.04 m → N 71.074057°
W 21.077271°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 71.073166°
W 21.080017°		 ← 99.05 m →
9 812 m²		 N 71.073166°
W 21.077271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441448211669922 y=0.214847564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441448211669922 × 217)
    floor (0.441448211669922 × 131072)
    floor (57861.5)     		tx = 57861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214847564697266 × 217)
    floor (0.214847564697266 × 131072)
    floor (28160.5)     		ty = 28160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57861 / 28160 ti = "17/57861/28160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57861/28160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57861 ÷ 217
    57861 ÷ 131072     		x = 0.441444396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28160 ÷ 217
    28160 ÷ 131072     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441444396972656 × 2 - 1) × π
    -0.117111206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36791570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36791570} λ = -0.36791570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36791570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.080017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57861 KachelY 28160 -0.36791570 1.24047630 -21.080017 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 57862 KachelY 28160 -0.36786777 1.24047630 -21.077271 71.074057
    Unten links KachelX 57861 KachelY + 1 28161 -0.36791570 1.24046075 -21.080017 71.073166
    Unten rechts KachelX + 1 57862 KachelY + 1 28161 -0.36786777 1.24046075 -21.077271 71.073166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.24046075) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.24046075) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36791570--0.36786777) × cos(1.24047630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 99.0428829613865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36791570--0.36786777) × cos(1.24046075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324360480000856 × 6371000     		du = 99.0473746248963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.24046075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.324360480000856)×R²
    abs(-0.36786777--0.36791570)×1.47093059011394e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47093059011394e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47093059011394e-05×40589641000000     		ar = 9812.30681698879m²