Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57859 / 84454
↖ ↑ ↗
← S 46.023668°
W 21.085510°		 ← 212.08 m → S 46.023668°
W 21.082764°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
S 46.025575°
W 21.085510°		 ← 212.07 m →
44 965 m²		 S 46.025575°
W 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441432952880859 y=0.644336700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441432952880859 × 217)
    floor (0.441432952880859 × 131072)
    floor (57859.5)     		tx = 57859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644336700439453 × 217)
    floor (0.644336700439453 × 131072)
    floor (84454.5)     		ty = 84454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57859 / 84454 ti = "17/57859/84454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57859/84454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57859 ÷ 217
    57859 ÷ 131072     		x = 0.441429138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84454 ÷ 217
    84454 ÷ 131072     		y = 0.644332885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441429138183594 × 2 - 1) × π
    -0.117141723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36801158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644332885742188 × 2 - 1) × π
    -0.288665771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.906870267012222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36801158} λ = -0.36801158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906870267012222))-π/2
    2×atan(0.403785990842635)-π/2
    2×0.383765895415822-π/2
    0.767531790831645-1.57079632675     		φ = -0.80326454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36801158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.085510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80326454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.023668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57859 KachelY 84454 -0.36801158 -0.80326454 -21.085510 -46.023668
    Oben rechts KachelX + 1 57860 KachelY 84454 -0.36796364 -0.80326454 -21.082764 -46.023668
    Unten links KachelX 57859 KachelY + 1 84455 -0.36801158 -0.80329782 -21.085510 -46.025575
    Unten rechts KachelX + 1 57860 KachelY + 1 84455 -0.36796364 -0.80329782 -21.082764 -46.025575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80326454--0.80329782) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80326454--0.80329782) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36801158--0.36796364) × cos(-0.80326454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694361163378225 × 6371000     		do = 212.075772152162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36801158--0.36796364) × cos(-0.80329782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694337213817421 × 6371000     		du = 212.068457339831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80326454)-sin(-0.80329782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694361163378225-0.694337213817421)×R²
    abs(-0.36796364--0.36801158)×2.39495608039819e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39495608039819e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39495608039819e-05×40589641000000     		ar = 44964.988828788m²