Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57857 / 38399
↖ ↑ ↗
← N 59.535710°
W 21.091003°		 ← 154.82 m → N 59.535710°
W 21.088257°		 →
↑
154.82 m
↓
↑
154.82 m
↓
N 59.534318°
W 21.091003°		 ← 154.83 m →
23 969 m²		 N 59.534318°
W 21.088257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441417694091797 y=0.292964935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441417694091797 × 217)
    floor (0.441417694091797 × 131072)
    floor (57857.5)     		tx = 57857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292964935302734 × 217)
    floor (0.292964935302734 × 131072)
    floor (38399.5)     		ty = 38399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57857 / 38399 ti = "17/57857/38399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57857/38399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57857 ÷ 217
    57857 ÷ 131072     		x = 0.441413879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38399 ÷ 217
    38399 ÷ 131072     		y = 0.292961120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441413879394531 × 2 - 1) × π
    -0.117172241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36810745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292961120605469 × 2 - 1) × π
    0.414077758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.30086364498946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36810745} λ = -0.36810745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30086364498946))-π/2
    2×atan(3.67246700612752)-π/2
    2×1.30494524919707-π/2
    2.60989049839414-1.57079632675     		φ = 1.03909417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36810745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.091003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03909417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.535710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57857 KachelY 38399 -0.36810745 1.03909417 -21.091003 59.535710
    Oben rechts KachelX + 1 57858 KachelY 38399 -0.36805952 1.03909417 -21.088257 59.535710
    Unten links KachelX 57857 KachelY + 1 38400 -0.36810745 1.03906987 -21.091003 59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 57858 KachelY + 1 38400 -0.36805952 1.03906987 -21.088257 59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03909417-1.03906987) × R
    2.42999999999771e-05 × 6371000     		dl = 154.815299999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03909417-1.03906987) × R
    2.42999999999771e-05 × 6371000     		dr = 154.815299999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36810745--0.36805952) × cos(1.03909417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.50700124106318 × 6371000     		do = 154.818928183667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36810745--0.36805952) × cos(1.03906987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 154.825324028542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03909417)-sin(1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50700124106318-0.507022186184862)×R²
    abs(-0.36805952--0.36810745)×2.09451216814927e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09451216814927e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09451216814927e-05×40589641000000     		ar = 23968.8339010263m²