Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57857 / 28161
↖ ↑ ↗
← N 71.073166°
W 21.091003°		 ← 99.05 m → N 71.073166°
W 21.088257°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 71.072275°
W 21.091003°		 ← 99.05 m →
9 813 m²		 N 71.072275°
W 21.088257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441417694091797 y=0.214855194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441417694091797 × 217)
    floor (0.441417694091797 × 131072)
    floor (57857.5)     		tx = 57857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214855194091797 × 217)
    floor (0.214855194091797 × 131072)
    floor (28161.5)     		ty = 28161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57857 / 28161 ti = "17/57857/28161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57857/28161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57857 ÷ 217
    57857 ÷ 131072     		x = 0.441413879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28161 ÷ 217
    28161 ÷ 131072     		y = 0.214851379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441413879394531 × 2 - 1) × π
    -0.117172241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36810745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214851379394531 × 2 - 1) × π
    0.570297241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7916416232996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36810745} λ = -0.36810745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7916416232996))-π/2
    2×atan(5.99929296609061)-π/2
    2×1.40562853816451-π/2
    2.81125707632903-1.57079632675     		φ = 1.24046075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36810745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.091003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24046075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.073166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57857 KachelY 28161 -0.36810745 1.24046075 -21.091003 71.073166
    Oben rechts KachelX + 1 57858 KachelY 28161 -0.36805952 1.24046075 -21.088257 71.073166
    Unten links KachelX 57857 KachelY + 1 28162 -0.36810745 1.24044520 -21.091003 71.072275
    Unten rechts KachelX + 1 57858 KachelY + 1 28162 -0.36805952 1.24044520 -21.088257 71.072275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24046075-1.24044520) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24046075-1.24044520) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36810745--0.36805952) × cos(1.24046075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324360480000856 × 6371000     		do = 99.0473746248963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36810745--0.36805952) × cos(1.24044520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324375189228326 × 6371000     		du = 99.0518662644563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24046075)-sin(1.24044520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324360480000856-0.324375189228326)×R²
    abs(-0.36805952--0.36810745)×1.47092274699334e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47092274699334e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47092274699334e-05×40589641000000     		ar = 9812.75180052012m²