Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57856 / 81560
↖ ↑ ↗
← S 40.229218°
W 21.093750°		 ← 233.18 m → S 40.229218°
W 21.091003°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.231315°
W 21.093750°		 ← 233.18 m →
54 372 m²		 S 40.231315°
W 21.091003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441410064697266 y=0.622257232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441410064697266 × 217)
    floor (0.441410064697266 × 131072)
    floor (57856.5)     		tx = 57856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622257232666016 × 217)
    floor (0.622257232666016 × 131072)
    floor (81560.5)     		ty = 81560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57856 / 81560 ti = "17/57856/81560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57856/81560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57856 ÷ 217
    57856 ÷ 131072     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81560 ÷ 217
    81560 ÷ 131072     		y = 0.62225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.2445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.76814087951178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76814087951178))-π/2
    2×atan(0.463874666051681)-π/2
    2×0.434332006957817-π/2
    0.868664013915634-1.57079632675     		φ = -0.70213231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70213231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.229218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57856 KachelY 81560 -0.36815539 -0.70213231 -21.093750 -40.229218
    Oben rechts KachelX + 1 57857 KachelY 81560 -0.36810745 -0.70213231 -21.091003 -40.229218
    Unten links KachelX 57856 KachelY + 1 81561 -0.36815539 -0.70216891 -21.093750 -40.231315
    Unten rechts KachelX + 1 57857 KachelY + 1 81561 -0.36810745 -0.70216891 -21.091003 -40.231315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70213231--0.70216891) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dl = 233.178600000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70213231--0.70216891) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dr = 233.178600000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36810745) × cos(-0.70213231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763466777737876 × 6371000     		do = 233.182405556123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36810745) × cos(-0.70216891) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76344313922259 × 6371000     		du = 233.1751857451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70213231)-sin(-0.70216891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763466777737876-0.76344313922259)×R²
    abs(-0.36810745--0.36815539)×2.36385152864171e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36385152864171e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36385152864171e-05×40589641000000     		ar = 54372.305125613m²