Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57852 / 44344
↖ ↑ ↗
← N 50.190968°
W 21.104737°		 ← 195.54 m → N 50.190968°
W 21.101990°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 50.189209°
W 21.104737°		 ← 195.55 m →
38 234 m²		 N 50.189209°
W 21.101990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441379547119141 y=0.338321685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441379547119141 × 217)
    floor (0.441379547119141 × 131072)
    floor (57852.5)     		tx = 57852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338321685791016 × 217)
    floor (0.338321685791016 × 131072)
    floor (44344.5)     		ty = 44344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57852 / 44344 ti = "17/57852/44344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57852/44344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57852 ÷ 217
    57852 ÷ 131072     		x = 0.441375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44344 ÷ 217
    44344 ÷ 131072     		y = 0.33831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.11724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36834714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33831787109375 × 2 - 1) × π
    0.3233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01587877674823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36834714} λ = -0.36834714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01587877674823))-π/2
    2×atan(2.7617893275392)-π/2
    2×1.22339698452406-π/2
    2.44679396904812-1.57079632675     		φ = 0.87599764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36834714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.104737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87599764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.190968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57852 KachelY 44344 -0.36834714 0.87599764 -21.104737 50.190968
    Oben rechts KachelX + 1 57853 KachelY 44344 -0.36829920 0.87599764 -21.101990 50.190968
    Unten links KachelX 57852 KachelY + 1 44345 -0.36834714 0.87596695 -21.104737 50.189209
    Unten rechts KachelX + 1 57853 KachelY + 1 44345 -0.36829920 0.87596695 -21.101990 50.189209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87599764-0.87596695) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87599764-0.87596695) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36834714--0.36829920) × cos(0.87599764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64023080720334 × 6371000     		do = 195.542968060976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36834714--0.36829920) × cos(0.87596695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640254382425952 × 6371000     		du = 195.550168540788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87599764)-sin(0.87596695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64023080720334-0.640254382425952)×R²
    abs(-0.36829920--0.36834714)×2.35752226124264e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35752226124264e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35752226124264e-05×40589641000000     		ar = 38234.4363611966m²