Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57851 / 84475
↖ ↑ ↗
← S 46.063703°
W 21.107483°		 ← 211.88 m → S 46.063703°
W 21.104737°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 46.065608°
W 21.107483°		 ← 211.87 m →
44 896 m²		 S 46.065608°
W 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441371917724609 y=0.644496917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441371917724609 × 217)
    floor (0.441371917724609 × 131072)
    floor (57851.5)     		tx = 57851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644496917724609 × 217)
    floor (0.644496917724609 × 131072)
    floor (84475.5)     		ty = 84475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57851 / 84475 ti = "17/57851/84475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57851/84475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57851 ÷ 217
    57851 ÷ 131072     		x = 0.441368103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84475 ÷ 217
    84475 ÷ 131072     		y = 0.644493103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441368103027344 × 2 - 1) × π
    -0.117263793945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36839507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644493103027344 × 2 - 1) × π
    -0.288986206054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.907876941904244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36839507} λ = -0.36839507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907876941904244))-π/2
    2×atan(0.403379714152485)-π/2
    2×0.383416524031078-π/2
    0.766833048062155-1.57079632675     		φ = -0.80396328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36839507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.107483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80396328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.063703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57851 KachelY 84475 -0.36839507 -0.80396328 -21.107483 -46.063703
    Oben rechts KachelX + 1 57852 KachelY 84475 -0.36834714 -0.80396328 -21.104737 -46.063703
    Unten links KachelX 57851 KachelY + 1 84476 -0.36839507 -0.80399654 -21.107483 -46.065608
    Unten rechts KachelX + 1 57852 KachelY + 1 84476 -0.36834714 -0.80399654 -21.104737 -46.065608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80396328--0.80399654) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dl = 211.899460000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80396328--0.80399654) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dr = 211.899460000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36839507--0.36834714) × cos(-0.80396328) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69385816195828 × 6371000     		do = 211.877936867533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36839507--0.36834714) × cos(-0.80399654) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.693834210659576 × 6371000     		du = 211.87062305034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80396328)-sin(-0.80399654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69385816195828-0.693834210659576)×R²
    abs(-0.36834714--0.36839507)×2.39512987032509e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39512987032509e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39512987032509e-05×40589641000000     		ar = 44896.0455152787m²