Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57851 / 44347
↖ ↑ ↗
← N 50.185692°
W 21.107483°		 ← 195.52 m → N 50.185692°
W 21.104737°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 50.183933°
W 21.107483°		 ← 195.53 m →
38 243 m²		 N 50.183933°
W 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441371917724609 y=0.338344573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441371917724609 × 217)
    floor (0.441371917724609 × 131072)
    floor (57851.5)     		tx = 57851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338344573974609 × 217)
    floor (0.338344573974609 × 131072)
    floor (44347.5)     		ty = 44347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57851 / 44347 ti = "17/57851/44347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57851/44347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57851 ÷ 217
    57851 ÷ 131072     		x = 0.441368103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44347 ÷ 217
    44347 ÷ 131072     		y = 0.338340759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441368103027344 × 2 - 1) × π
    -0.117263793945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36839507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338340759277344 × 2 - 1) × π
    0.323318481445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01573496604937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36839507} λ = -0.36839507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01573496604937))-π/2
    2×atan(2.76139218124353)-π/2
    2×1.22335094596138-π/2
    2.44670189192276-1.57079632675     		φ = 0.87590557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36839507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.107483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87590557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.185692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57851 KachelY 44347 -0.36839507 0.87590557 -21.107483 50.185692
    Oben rechts KachelX + 1 57852 KachelY 44347 -0.36834714 0.87590557 -21.104737 50.185692
    Unten links KachelX 57851 KachelY + 1 44348 -0.36839507 0.87587487 -21.107483 50.183933
    Unten rechts KachelX + 1 57852 KachelY + 1 44348 -0.36834714 0.87587487 -21.104737 50.183933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87590557-0.87587487) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87590557-0.87587487) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36839507--0.36834714) × cos(0.87590557) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640301531062034 × 6371000     		do = 195.523775337104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36839507--0.36834714) × cos(0.87587487) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640325112156499 × 6371000     		du = 195.530976107979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87590557)-sin(0.87587487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640301531062034-0.640325112156499)×R²
    abs(-0.36834714--0.36839507)×2.35810944648751e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35810944648751e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35810944648751e-05×40589641000000     		ar = 38243.1407623331m²