Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57848 / 86962
↖ ↑ ↗
← S 50.600673°
W 21.115722°		 ← 193.82 m → S 50.600673°
W 21.112976°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
S 50.602416°
W 21.115722°		 ← 193.81 m →
37 563 m²		 S 50.602416°
W 21.112976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441349029541016 y=0.663471221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441349029541016 × 217)
    floor (0.441349029541016 × 131072)
    floor (57848.5)     		tx = 57848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663471221923828 × 217)
    floor (0.663471221923828 × 131072)
    floor (86962.5)     		ty = 86962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57848 / 86962 ti = "17/57848/86962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57848/86962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57848 ÷ 217
    57848 ÷ 131072     		x = 0.44134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86962 ÷ 217
    86962 ÷ 131072     		y = 0.663467407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36853888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663467407226562 × 2 - 1) × π
    -0.326934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02709601125932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36853888} λ = -0.36853888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02709601125932))-π/2
    2×atan(0.358045211567945)-π/2
    2×0.343823989717629-π/2
    0.687647979435257-1.57079632675     		φ = -0.88314835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36853888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.115722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88314835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.600673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57848 KachelY 86962 -0.36853888 -0.88314835 -21.115722 -50.600673
    Oben rechts KachelX + 1 57849 KachelY 86962 -0.36849095 -0.88314835 -21.112976 -50.600673
    Unten links KachelX 57848 KachelY + 1 86963 -0.36853888 -0.88317877 -21.115722 -50.602416
    Unten rechts KachelX + 1 57849 KachelY + 1 86963 -0.36849095 -0.88317877 -21.112976 -50.602416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88314835--0.88317877) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dl = 193.805819999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88314835--0.88317877) × R
    3.04199999999755e-05 × 6371000     		dr = 193.805819999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36853888--0.36849095) × cos(-0.88314835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63472143470513 × 6371000     		do = 193.81982578619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36853888--0.36849095) × cos(-0.88317877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.634697927629306 × 6371000     		du = 193.812647617797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88314835)-sin(-0.88317877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63472143470513-0.634697927629306)×R²
    abs(-0.36849095--0.36853888)×2.3507075824436e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3507075824436e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3507075824436e-05×40589641000000     		ar = 37562.7146861936m²