Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57847 / 86963
↖ ↑ ↗
← S 50.602416°
W 21.118469°		 ← 193.85 m → S 50.602416°
W 21.115722°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.604160°
W 21.118469°		 ← 193.85 m →
37 582 m²		 S 50.604160°
W 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441341400146484 y=0.663478851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441341400146484 × 217)
    floor (0.441341400146484 × 131072)
    floor (57847.5)     		tx = 57847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663478851318359 × 217)
    floor (0.663478851318359 × 131072)
    floor (86963.5)     		ty = 86963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57847 / 86963 ti = "17/57847/86963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57847/86963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57847 ÷ 217
    57847 ÷ 131072     		x = 0.441337585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86963 ÷ 217
    86963 ÷ 131072     		y = 0.663475036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441337585449219 × 2 - 1) × π
    -0.117324829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36858682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663475036621094 × 2 - 1) × π
    -0.326950073242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.02714394815894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36858682} λ = -0.36858682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02714394815894))-π/2
    2×atan(0.358028048401956)-π/2
    2×0.343808776710499-π/2
    0.687617553420998-1.57079632675     		φ = -0.88317877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36858682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.118469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88317877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.602416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57847 KachelY 86963 -0.36858682 -0.88317877 -21.118469 -50.602416
    Oben rechts KachelX + 1 57848 KachelY 86963 -0.36853888 -0.88317877 -21.115722 -50.602416
    Unten links KachelX 57847 KachelY + 1 86964 -0.36858682 -0.88320920 -21.118469 -50.604160
    Unten rechts KachelX + 1 57848 KachelY + 1 86964 -0.36853888 -0.88320920 -21.115722 -50.604160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88317877--0.88320920) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88317877--0.88320920) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36858682--0.36853888) × cos(-0.88317877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634697927629306 × 6371000     		do = 193.85308422252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36858682--0.36853888) × cos(-0.88320920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63467441223835 × 6371000     		du = 193.845902016836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88317877)-sin(-0.88320920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634697927629306-0.63467441223835)×R²
    abs(-0.36853888--0.36858682)×2.35153909553532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35153909553532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35153909553532e-05×40589641000000     		ar = 37581.5101248087m²